掃き出し法により交線を求める問題

■問題

平面 ${\displaystyle 2x-3y+z=1}$ と平面${\displaystyle 3x+2y-3z=1}$ の交線の方程式を求めよ．

■計算

連理方程式

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2x-3y+z=1\\ 3x+2y-3z=1\end{array}\right.}$

の解が交線の方程式になる(参考：空間における直線の方程式)．この連立方程式を掃き出し法で解く．

• ${\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}2& -3& 1& 1\\ 3& 2& -3& 1\end{array}\right)}$

  ・1行を-1倍して2行に加える．

• ${\displaystyle \to \left(\begin{array}{cccc}2& -3& 1& 1\\ 1& 5& -4& 0\end{array}\right)}$

  ・1行と2行を入れ替える．

• ${\displaystyle \to \left(\begin{array}{cccc}1& 5& -4& 0\\ 2& -3& 1& 1\end{array}\right)}$

  ・1行を-2倍して2行に加える．

• ${\displaystyle \to \left(\begin{array}{cccc}1& 5& -4& 0\\ 0& -13& 9& 1\end{array}\right)}$

  ・2行を${\displaystyle -\frac{1}{13}}$倍する．

• ${\displaystyle \to \left(\begin{array}{cccc}1& 5& -4& 0\\ 0& 1& -\frac{9}{13}& -\frac{1}{13}\end{array}\right)}$

  ・2行を-5倍して1行に加える．

• ${\displaystyle \to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& -\frac{7}{13}& \frac{5}{13}\\ 0& 1& -\frac{9}{13}& -\frac{1}{13}\end{array}\right)}$

よって

${\displaystyle \left\{\begin{array}{cc}x-\frac{7}{13}z=\frac{5}{13}& \cdots (1)\\ y-\frac{9}{13}z=-\frac{1}{13}& \cdots (2)\end{array}\right.}$

(1)より

${\displaystyle -\frac{7}{13}z}$${\displaystyle =-x+\frac{5}{13}}$

${\displaystyle z}$${\displaystyle =-\frac{13}{7}\left(-x+\frac{5}{13}\right)=\frac{13x-5}{7}}$

(2)より

${\displaystyle -\frac{9}{13}z}$${\displaystyle =-y-\frac{1}{13}}$

${\displaystyle z}$${\displaystyle =-\frac{13}{9}\left(-y-\frac{1}{13}\right)=\frac{13y+1}{9}}$

以上より

${\displaystyle \frac{13x-5}{7}=\frac{13y+1}{9}=z}$

■別解

${\displaystyle z}$ は${\displaystyle t}$ とおく(${\displaystyle t}$ は実数)．

(1)より

${\displaystyle x=\frac{7}{13}t+\frac{5}{13}}$

(2)より

${\displaystyle y=\frac{9}{13}t-\frac{1}{13}}$

よって

 

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日：2023年2月3日