基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}3& 2& -2& 1\\ 1& -1& 2& 1\\ 2& 6& -4& 2\\ 1& 2& 1& 2\end{array}\right|}$

■答

${\displaystyle 8}$

■計算

行列式の計算手順1を参考に行列式の次数を下げていく。

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}3& 2& -2& 1\\ 1& -1& 2& 1\\ 2& 6& -4& 2\\ 1& 2& 1& 2\end{array}\right|}$

行列式の交代性を用いて1行目と2行目を入れ替える．符号が変わることに注意．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 1\\ 3& 2& -2& 1\\ 2& 6& -4& 2\\ 1& 2& 1& 2\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-3)，3行+1行×(-2)，4行+1行×(-1)の計算をする．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 1\\ 0& 5& -8& -2\\ 0& 8& -8& 0\\ 0& 3& -1& 1\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{ccc}5& -8& -2\\ 8& -8& 0\\ 3& -1& 1\end{array}\right|}$

行列式の交代性を用いて1行目と3行目を入れ替える．符号が変わる．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}3& -1& 1\\ 8& -8& 0\\ 5& -8& -2\end{array}\right|}$

行列式の交代性を用いて1列目と3列目を入れ替える．符号が変わる．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 3\\ 0& -8& 8\\ -2& -8& 5\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて3行＋1行×2の計算をする．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 3\\ 0& -8& 8\\ 0& -10& 11\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{cc}-8& 8\\ -10& 11\end{array}\right|}$

1行目の成分がともに-8の倍数であうので，定数倍の性質を用いて-8をくくりだす．

${\displaystyle =-\left(-8\right)\times \left|\begin{array}{cc}1& -1\\ -10& 11\end{array}\right|}$

${\displaystyle =8\times \left(11-10\right)}$

${\displaystyle =8}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年8月27日