基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．ただし，因数分解された形で答えを示せ．

$|\begin{matrix} 1 & x & x^{2} & x^{3} \\ x & x^{2} & x^{3} & 1 \\ x^{2} & x^{3} & 1 & x \\ x^{3} & 1 & x & x^{2} \end{matrix}|$

■答

${(x - 1)}^{3} {(x + 1)}^{3} {(x^{2} + 1)}^{3}$

■計算

$|\begin{matrix} 1 & x & x^{2} & x^{3} \\ x & x^{2} & x^{3} & 1 \\ x^{2} & x^{3} & 1 & x \\ x^{3} & 1 & x & x^{2} \end{matrix}|$

行列式の計算則を用いて2行+1行× $(- x)$ ，3行+1行× $(- x^{2})$ ，4行+1行× $(- x^{3})$ の計算をする．

$= |\begin{matrix} 1 & x & x^{2} & x^{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 - x^{4} \\ 0 & 0 & 1 - x^{4} & x - x^{5} \\ 0 & 1 - x^{4} & x - x^{5} & x^{2} - x^{6} \end{matrix}|$

次数下げの計算を用いて行列式の次数を1つ下げる．

$= |\begin{matrix} 0 & 0 & 1 - x^{4} \\ 0 & 1 - x^{4} & x - x^{5} \\ 1 - x^{4} & x - x^{5} & x^{2} - x^{6} \end{matrix}|$

すべての成分に $1 - x^{4}$ の因数があるので，それでくくる．

$= |\begin{matrix} 0 & 0 & 1 - x^{4} \\ 0 & 1 - x^{4} & x (1 - x^{4}) \\ 1 - x^{4} & x (1 - x^{4}) & x^{2} (1 - x^{4}) \end{matrix}|$

各行から $1 - x^{4}$ を定数倍の性質を用いてくくりだす．

$= {(1 - x^{4})}^{3} |\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & x \\ 1 & x & x^{2} \end{matrix}|$

1行1列目を1にするために行列式の交代制を用いて1行目と3行目を入れ替える．このときに符号が変わる．

$= - {(1 - x^{4})}^{3} |\begin{matrix} 1 & x & x^{2} \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|$

次数下げの計算を用いて行列式の次数を1つ下げる．

$= - {(1 - x^{4})}^{3} |\begin{matrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{matrix}|$

$= - {(1 - x^{4})}^{3}$

$1 - x^{4}$ を因数分解すると

$1 - x^{4} = (1 - x^{2}) (1 + x^{2}) = (1 - x) (1 + x) (1 + x^{2})$

となる.したがって

$= - {\{(1 - x) (1 + x) (1 + x^{2})\}}^{3}$

$= - {(1 - x)}^{3} {(1 + x)}^{3} {(1 + x^{2})}^{3}$

$= {(x - 1)}^{3} {(x + 1)}^{3} {(x^{2} + 1)}^{3}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年8月27日