基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．ただし，答えは因数分解された形で示せ．

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}1& 1& x+1\\ 1& x+1& 1\\ x+1& 1& 1\end{array}\right|}$

■答

${\displaystyle -x^2\left(x+3\right)}$

■計算

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}1& 1& x+1\\ 1& x+1& 1\\ x+1& 1& 1\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行−1行×(-1)，3行+1行× ${\displaystyle \left\{-\left(x+1\right)\right\}}$ の計算をする．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& x+1\\ 0& x& -x\\ 0& -x& 1-{\left(x+1\right)}^2\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cc}x& -x\\ -x& -x\left(x+2\right)\end{array}\right|}$

1行目の成分，2行目の成分とともに${\displaystyle x}$ が共通因子としてあるので，定数倍の性質を用いて各行から${\displaystyle x}$をくくりだす．　

${\displaystyle =x^2\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& -\left(x+2\right)\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行の計算をする．

${\displaystyle =x^2\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& -x-3\end{array}\right|}$

${\displaystyle =-x^2\left(x+3\right)}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年8月27日