立方体の影の作図

■問題

地表に垂直に長さ ${\displaystyle z}$ の棒を立てた．太陽の光で地表には棒の影ができる．太陽が南東の地表面から ${\displaystyle 60°}$ (仰角)の方向にあったとする．地表面に ${\displaystyle x}$ 軸， ${\displaystyle y}$ 軸を取り，東向きを ${\displaystyle x}$ 軸の正方向，北向きを ${\displaystyle y}$ 軸の正方向とし，鉛直上向きを ${\displaystyle z}$ 軸の正方向にとる．棒は ${\displaystyle xy}$ 平面の原点に立っていたとする．このように座標を設定すると，棒の先端の点 ${\displaystyle \text{P}}$ (地表面に接している方と反対側)の座標は ${\displaystyle \left(0,0,z\right)}$ となる．

(1)棒の影の先端部の点 ${\displaystyle \text{Q}}$ の座標を ${\displaystyle \left(u,v,0\right)}$ とする． ${\displaystyle u}$ ， ${\displaystyle v}$ を ${\displaystyle z}$ を用いて表せ．影は地表面にできるので ${\displaystyle z}$ 座標の値は ${\displaystyle 0}$ になる．  ⇒解答

棒と棒の影

(2)棒を立てる位置を ${\displaystyle \left(x,y,0\right)}$ に変更した．棒の影の先端部の点 ${\displaystyle \text{Q}}$ の座標を ${\displaystyle \left(u,v,0\right)}$ とする． ${\displaystyle u}$ ， ${\displaystyle v}$ を ${\displaystyle z}$ を用いて表せ． ⇒解答

棒を立てる位置を変更した場合の棒と棒の影

(3)棒の先端部の点 ${\displaystyle \text{P}}$ の座標 ${\displaystyle \left(x,y,z\right)}$ と棒の影の先端部の点 ${\displaystyle \text{Q}}$ の座標間 ${\displaystyle \left(u,v,0\right)}$ の間には，

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}u\\ v\\ 0\end{array}\right)=X\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)}$    ${\displaystyle X}$ は ${\displaystyle 3}$ 次の正方行列である．

の関係がある． ${\displaystyle 3}$ 次の正方行列 ${\displaystyle X}$ を求めよ． ⇒解答

(4)図のような一辺の長さが ${\displaystyle 1}$ mの立方体がある．頂点 ${\displaystyle \text{A}}$ を原点に，対角線 ${\displaystyle \text{A}\text{G}}$ が ${\displaystyle z}$ 軸と重なり，平面 ${\displaystyle \text{A}\text{C}\text{G}\text{E}}$ が ${\displaystyle yz}$ 平面と一致し，頂点 ${\displaystyle \text{C}}$ の座標の ${\displaystyle y}$ 成分が正になるように，すなわち北側になるように，頂点 ${\displaystyle \text{E}}$ の座標の ${\displaystyle y}$ 成分が負になるように，すなわち南側になるように立方体を地表面に設置した(下図を参照せよ)．立方体の影をグラフ用紙に作図せよ．グラフ用紙には東西南北の方角を明記する．また， ${\displaystyle 1}$ mの長さが ${\displaystyle 5}$ cmになるように作図する．作図に必要な計算を記入しておくこと．  ⇒解答

• 立方体を真上から見た状態

• 立方体を東から見た状態

(5)太陽の位置を南南東の地表面から ${\displaystyle 45°}$ (仰角)の方向に変更する．この場合の(4)で説明した立方体の影を作図せよ．(4)と同様に答えよ．  ⇒解答

 

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作成：学生スタッフ
最終更新日： 2025年4月25日