立方体の影の作図

■問題

地表に垂直に長さ${\displaystyle z}$ の棒を立てた．太陽の光で地表には棒の影ができる．太陽が南東の地表面から${\displaystyle 60°}$ (仰角)の方向にあったとする．地表面に${\displaystyle x}$ 軸，${\displaystyle y}$ 軸を取り，東向きを${\displaystyle x}$ 軸の正方向，北向きを${\displaystyle y}$軸の正方向とし，鉛直上向きを${\displaystyle z}$ 軸の正方向にとる．棒は${\displaystyle xy}$ 平面の原点に立っていたとする．このように座標を設定すると，棒の先端の点 ${\displaystyle \text{P}}$ (地表面に接している方と反対側)の座標は${\displaystyle \left(0,0,z\right)}$ となる．

(1)棒の影の先端部の点${\displaystyle \text{Q}}$ の座標を${\displaystyle \left(u,v,0\right)}$ とする．${\displaystyle u}$ ，${\displaystyle v}$ を${\displaystyle z}$ を用いて表せ．影は地表面にできるので${\displaystyle z}$ 座標の値は${\displaystyle 0}$ になる．  ⇒解答

棒と棒の影

(2)棒を立てる位置を${\displaystyle \left(x,y,0\right)}$に変更した．棒の影の先端部の点 ${\displaystyle \text{Q}}$ の座標を${\displaystyle \left(u,v,0\right)}$ とする．${\displaystyle u}$ ，${\displaystyle v}$ を${\displaystyle z}$ を用いて表せ． ⇒解答

棒を立てる位置を変更した場合の棒と棒の影

(3)棒の先端部の点${\displaystyle \text{P}}$ の座標${\displaystyle \left(x,y,z\right)}$ と棒の影の先端部の点${\displaystyle \text{Q}}$ の座標間${\displaystyle \left(u,v,0\right)}$ の間には，

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}u\\ v\\ 0\end{array}\right)=X\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)}$   ${\displaystyle X}$ は${\displaystyle 3}$次の正方行列である．

の関係がある．${\displaystyle 3}$次の正方行列${\displaystyle X}$を求めよ． ⇒解答

(4)図のような一辺の長さが${\displaystyle 1}$mの立方体がある．頂点${\displaystyle \text{A}}$を原点に，対角線${\displaystyle \text{A}\text{G}}$ が${\displaystyle z}$ 軸と重なり，平面${\displaystyle \text{A}\text{C}\text{G}\text{E}}$ が${\displaystyle yz}$ 平面と一致し，頂点${\displaystyle \text{C}}$ の座標の${\displaystyle y}$ 成分が正になるように，すなわち北側になるように，頂点${\displaystyle \text{E}}$の座標の${\displaystyle y}$ 成分が負になるように，すなわち南側になるように立方体を地表面に設置した(下図を参照せよ)．立方体の影をグラフ用紙に作図せよ．グラフ用紙には東西南北の方角を明記する．また，${\displaystyle 1}$mの長さが${\displaystyle 5}$ cmになるように作図する．作図に必要な計算を記入しておくこと．  ⇒解答

• 立方体を真上から見た状態

• 立方体を東から見た状態

(5)太陽の位置を南南東の地表面から${\displaystyle 45°}$ (仰角)の方向に変更する．この場合の(4)で説明した立方体の影を作図せよ．(4)と同様に答えよ．  ⇒解答

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年2月10日