基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．ただし，答えは因数分解された形で示せ．

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& x+1\\ 1& 1& x-1& x\\ 1& x+1& 1& x\\ x-1& 1& 1& x\end{array}\right|}$

■答

${\displaystyle \left(x-2\right)\left(x^3-x^2+x-2\right)}$

■計算

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& x+1\\ 1& 1& x-1& x\\ 1& x+1& 1& x\\ x-1& 1& 1& x\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて　2行+1行×(-1)，3行+1行×(-1)，4行+1行×${\displaystyle \left\{-\left(x-1\right)\right\}}$ の計算をする．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& x+1\\ 0& 0& x-2& -1\\ 0& x& 0& -1\\ 0& -x+2& -x+2& -x^2+x+1\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}0& x-2& -1\\ x& 0& -1\\ -x+2& -x+2& -x^2+x+1\end{array}\right|}$

2列目の成分は${\displaystyle x-2}$ の倍数なので，定数倍の性質を用いて${\displaystyle x-2}$をくくりだす．

${\displaystyle =\left(x-2\right)\left|\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ x& 0& -1\\ -x+2& -1& -x^2+x+1\end{array}\right|}$

1行1列目を1にするために，行列式の交代制を用いて1列目と2列目を入れ替える．このとき符号が変わることに注意すること．

行列式の計算則を用いて3行+1行の計算をする．

${\displaystyle =-\left(x-2\right)\left|\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& x& -1\\ 0& -x+2& -x^2+x\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\left(x-2\right)\left|\begin{array}{cc}x& -1\\ -x+2& -x^2+x\end{array}\right|}$

${\displaystyle =-\left(x-2\right)\left(-x^3+x^2-x+2\right)}$

${\displaystyle =\left(x-2\right)\left(x^3-x^2+x-2\right)}$

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年8月27日