問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=log\left(x-y\right)}$

■答

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{x-y},\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{y-x}}$

■ヒント

合成関数の微分を行う．
偏導関数の定義を用いて偏微分する．

■解説

${\displaystyle u=x-y}$ とおくと

${\displaystyle z=logu}$

対数の微分を行う．

${\displaystyle \frac{dz}{du}}$${\displaystyle =\frac{1}{u}}$${\displaystyle =\frac{1}{x-y}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}$${\displaystyle =1·x^{1-1}}$${\displaystyle =1}$

${\displaystyle \frac{dz}{du}·\frac{\partial u}{\partial x}}$${\displaystyle =\frac{1}{x-y}·1}$

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$${\displaystyle =\frac{1}{x-y}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}}$${\displaystyle =-1·y^{1-1}}$${\displaystyle =-1}$

${\displaystyle \frac{dz}{du}·\frac{\partial u}{\partial y}}$${\displaystyle =\frac{1}{x-y}·\left(-1\right)}$

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$${\displaystyle =\frac{1}{y-x}}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月24日

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