偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

$f (x, y) = \frac{5 x + 3 y}{3 x + 2 y}$ $f (x, y) = \frac{5 x + 3 y}{3 x + 2 y}$

■答

$\frac{\partial}{\partial x} f (x, y) = \frac{y}{{(3 x + 2 y)}^{2}}$ $\frac{\partial}{\partial x} f (x, y) = \frac{y}{{(3 x + 2 y)}^{2}}$ ， $\frac{\partial}{\partial y} f (x, y) = - \frac{x}{{(3 x + 2 y)}^{2}}$ $\frac{\partial}{\partial y} f (x, y) = - \frac{x}{{(3 x + 2 y)}^{2}}$

■ヒント

偏導関数の定義を用いて偏微分する．

■解説

$z = \frac{5 x + 3 y}{3 x + 2 y}$ $z = \frac{5 x + 3 y}{3 x + 2 y}$ とおく．

偏導関数の定義より， $y$ $y$ を定数とみなして $x$ $x$ で微分する．
分数関数の微分の公式を用いる．

$\frac{\partial z}{\partial x}$ $\frac{\partial z}{\partial x}$ $= \frac{5 \cdot (3 x + 2 y) - (5 x + 3 y) \cdot 3}{{(3 x + 2 y)}^{2}}$ $= \frac{5 \cdot (3 x + 2 y) - (5 x + 3 y) \cdot 3}{{(3 x + 2 y)}^{2}}$

$= \frac{(15 x + 10 y) - (15 x + 9 y)}{{(3 x + 2 y)}^{2}}$ $= \frac{(15 x + 10 y) - (15 x + 9 y)}{{(3 x + 2 y)}^{2}}$

$= \frac{y}{{(3 x + 2 y)}^{2}}$ $= \frac{y}{{(3 x + 2 y)}^{2}}$

偏導関数の定義より， $x$ $x$ を定数とみなして $y$ $y$ で微分する．
分数関数の微分の公式を用いる．

$\frac{\partial z}{\partial y}$ $\frac{\partial z}{\partial y}$ $= \frac{3 \cdot (3 x + 2 y) - (5 x + 3 y) \cdot 2}{{(3 x + 2 y)}^{2}}$ $= \frac{3 \cdot (3 x + 2 y) - (5 x + 3 y) \cdot 2}{{(3 x + 2 y)}^{2}}$

$= \frac{(9 x + 6 y) - (10 x + 6 y)}{{(3 x + 2 y)}^{2}}$ $= \frac{(9 x + 6 y) - (10 x + 6 y)}{{(3 x + 2 y)}^{2}}$

$= \frac{- x}{{(3 x + 2 y)}^{2}}$ $= \frac{- x}{{(3 x + 2 y)}^{2}}$

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最終更新日： 2023年8月24日