偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

$z = 3 x^{3} - 6 x^{2} y + 2 x y^{2} + 5 y^{4}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = 9 x^{2} - 12 x y + 2 y^{2}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = - 6 x^{2} + 4 x y + 20 y^{3}$

偏導関数の定義を用いて偏微分する．

偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして $x$ で微分する．

$\frac{\partial z}{\partial x} = 3 \cdot 3 x^{3 - 1} - 2 \cdot 6 y \cdot x^{2 - 1} + 2 y^{2} \cdot x^{1 - 1}$

$= 9 x^{2} - 12 x y + 2 y^{2}$

偏導関数の定義より， $x$ を定数とみなして $y$ で微分する．

$\frac{\partial z}{\partial y} = - 6 x^{2} \cdot y^{1 - 1} + 2 \cdot 2 x \cdot y^{2 - 1} + 4 \cdot 5 \cdot y^{4 - 1}$

$= - 6 x^{2} + 4 x y + 20 y^{3}$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月24日