偏微分とその値

■問題

次の関数について $f_{x} (1, - 2)$ $f_{x} (1, - 2)$ と $f_{y} (1, - 2)$ $f_{y} (1, - 2)$ を求めよ．

$f (x, y) = \frac{3 x^{2} y + 2 x y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$ $f (x, y) = \frac{3 x^{2} y + 2 x y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

■答

それぞれ， $\frac{8}{9}$ $\frac{8}{9}$ と $\frac{7}{9}$ $\frac{7}{9}$

■ヒント

偏導関数の定義を用いて偏微分する．
微分後の式に数値を代入する．

■解説

偏導関数の定義より， $y$ $y$ を定数とみなして $x$ $x$ で微分する．

$\frac{\partial}{\partial x} f (x, y) = \frac{(6 x y + 2 y^{2}) (x^{2} - y^{2}) - (3 x^{2} y + 2 x y^{2}) \cdot 2 x}{{(x^{2} - y^{2})}^{2}}$ $\frac{\partial}{\partial x} f (x, y) = \frac{(6 x y + 2 y^{2}) (x^{2} - y^{2}) - (3 x^{2} y + 2 x y^{2}) \cdot 2 x}{{(x^{2} - y^{2})}^{2}}$

$= \frac{6 x^{3} y - 6 x y^{3} + 2 x^{2} y^{2} - 2 y^{4} - 6 x^{3} y - 4 x^{2} y^{2}}{{(x^{2} - y^{2})}^{2}}$ $= \frac{6 x^{3} y - 6 x y^{3} + 2 x^{2} y^{2} - 2 y^{4} - 6 x^{3} y - 4 x^{2} y^{2}}{{(x^{2} - y^{2})}^{2}}$

$= - \frac{2 x^{2} y^{2} + 6 x y^{3} + 2 y^{4}}{{(x^{2} - y^{2})}^{2}}$ $= - \frac{2 x^{2} y^{2} + 6 x y^{3} + 2 y^{4}}{{(x^{2} - y^{2})}^{2}}$

$- \frac{2 x^{2} y^{2} + 6 x y^{3} + 2 y^{4}}{{(x^{2} - y^{2})}^{2}}$ $- \frac{2 x^{2} y^{2} + 6 x y^{3} + 2 y^{4}}{{(x^{2} - y^{2})}^{2}}$ に $x = 1, y = - 2$ $x = 1, y = - 2$ を代入する．

$f_{x} (x, y) = - \frac{2 \cdot 1 \cdot {(- 2)}^{2} + 6 \cdot 1 \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{4}}{\{1 - {(- 2)}^{2}\}}$ $f_{x} (x, y) = - \frac{2 \cdot 1 \cdot {(- 2)}^{2} + 6 \cdot 1 \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{4}}{\{1 - {(- 2)}^{2}\}}$

$= - \frac{2 \cdot 4 + 6 \cdot (- 8) + 2 \cdot 16}{{(1 - 4)}^{2}}$ $= - \frac{2 \cdot 4 + 6 \cdot (- 8) + 2 \cdot 16}{{(1 - 4)}^{2}}$

$= - \frac{8 - 48 + 32}{9} = \frac{8}{9}$ $= - \frac{8 - 48 + 32}{9} = \frac{8}{9}$

偏導関数の定義より， $x$ $x$ を定数とみなして $y$ $y$ で微分する．

$\frac{\partial}{\partial y} f (x, y) = \frac{(3 x^{2} + 4 x y) (x^{2} - y^{2}) - (3 x^{2} y + 2 x y^{2}) \cdot (- 2 y)}{{(x^{2} - y^{2})}^{2}}$ $\frac{\partial}{\partial y} f (x, y) = \frac{(3 x^{2} + 4 x y) (x^{2} - y^{2}) - (3 x^{2} y + 2 x y^{2}) \cdot (- 2 y)}{{(x^{2} - y^{2})}^{2}}$

$= \frac{3 x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + 4 x^{3} y - 4 x y^{3} + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3}}{{(x^{2} - y^{2})}^{2}}$ $= \frac{3 x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + 4 x^{3} y - 4 x y^{3} + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3}}{{(x^{2} - y^{2})}^{2}}$

$= \frac{3 x^{4} + 4 x^{3} y + 3 x^{2} y^{2}}{{(x^{2} - y^{2})}^{2}}$ $= \frac{3 x^{4} + 4 x^{3} y + 3 x^{2} y^{2}}{{(x^{2} - y^{2})}^{2}}$

$\frac{3 x^{4} + 4 x^{3} y + 3 x^{2} y^{2}}{{(x^{2} - y^{2})}^{2}}$ $\frac{3 x^{4} + 4 x^{3} y + 3 x^{2} y^{2}}{{(x^{2} - y^{2})}^{2}}$ に $x = 1, y = - 2$ $x = 1, y = - 2$ を代入する．

$f_{y} (1, - 2) = \frac{3 \cdot 1^{4} + 4 \cdot 1^{3} \cdot (- 2) + 3 \cdot 1^{2} \cdot {(- 2)}^{2}}{{\{1 - {(- 2)}^{2}\}}^{2}}$ $f_{y} (1, - 2) = \frac{3 \cdot 1^{4} + 4 \cdot 1^{3} \cdot (- 2) + 3 \cdot 1^{2} \cdot {(- 2)}^{2}}{{\{1 - {(- 2)}^{2}\}}^{2}}$

$= \frac{3 - 8 + 12}{9} = \frac{7}{9}$ $= \frac{3 - 8 + 12}{9} = \frac{7}{9}$

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最終更新日： 2024年5月7日