偏微分とその値

■問題

次の関数について $f_{x} (1, - 2)$ と $f_{y} (1, - 2)$ を求めよ．

$f (x, y) = (x + y) (x^{2} + x y^{3})$

それぞれ， $- 1$ と $- 19$

偏導関数の定義を用いて偏微分する．
微分後の式に数値を代入する．

偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして $x$ で微分する．

$\frac{\partial}{\partial x} f (x, y) = 1 \cdot (x^{2} + x y^{3}) + (x + y) (2 x + y^{3})$

$= x^{2} + x y^{3} + 2 x^{2} + x y^{3} + 2 x y + y^{4}$

$= 3 x^{2} + 2 x (y^{3} + y) + y^{4}$

$3 x^{2} + 2 x (y^{3} + y) + y^{4}$ に $x = 1, y = - 2$ を代入する．

$f_{x} (1, - 2) = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \{{(- 2)}^{3} + (- 2)\} + {(- 2)}^{4}$

$= 3 + 2 \cdot (- 8 - 2) + 16$

$= 3 - 20 + 16$

$= - 1$

偏導関数の定義より， $x$ を定数とみなして $y$ で微分する．

$\frac{\partial}{\partial y} f (x, y) = 1 \cdot (x^{2} + x y^{3}) + (x + y) \cdot 3 x y^{2}$

$= x^{2} + x y^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{3}$

$= x^{2} (1 + 3 y^{2}) + 4 x y^{3}$

$x^{2} (1 + 3 y^{2}) + 4 x y^{3}$ に $x = 1, y = - 2$ を代入する．

$f_{y} (1, - 2) = 1^{2} \cdot (1 + 3 \cdot {(- 2)}^{2}) + 4 \cdot 1 \cdot {(- 2)}^{3}$

$= 1 \cdot (1 + 3 \cdot 4) + 4 \cdot 1 \cdot (- 8)$

$= 13 - 32$

$= - 19$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2024年5月7日