偏微分を含む証明

■問題

次のことを証明せよ．

$z = f (x^{2} - y^{2})$ ならば $y \frac{\partial z}{\partial x} + x \frac{\partial z}{\partial y} = 0$

である．

$z$ を $x$ ， $y$ でそれぞれ偏微分し，２式を連立させる．

偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして $x$ で合成関数の微分を行う．

$\frac{\partial z}{\partial x} = f^{'} (x^{2} - y^{2}) \cdot 2 x$

$\frac{1}{2 x} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = f^{'} (x^{2} - y^{2})$

偏導関数の定義より， $x$ を定数とみなして $y$ で合成関数の微分を行う．

$\frac{\partial z}{\partial y} = f^{'} (x^{2} - y^{2}) \cdot (- 2 y)$

$(- \frac{1}{2 y}) \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = f^{'} (x^{2} - y^{2})$

以上より

$\frac{1}{2 x} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = (- \frac{1}{2 y}) \cdot \frac{\partial z}{\partial y}$

$\frac{1}{2 x} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{1}{2 y} \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = 0$

両辺に $2 x y$ をかける．

$y \frac{\partial z}{\partial x} + x \frac{\partial z}{\partial y} = 0$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月24日