合成関数の偏微分

■問題

$z = f (x, y)$ , $x = r cos θ$ , $y = r sin θ$ （平面の極座標変換）ならば

${(\frac{d z}{d x})}^{2} + {(\frac{d z}{d y})}^{2}$ $= {(\frac{d z}{d r})}^{2} + \frac{1}{r^{2}} {(\frac{d z}{d θ})}^{2}$

となることを示せ．

$z$ を $r$ で偏微分する．

$\frac{\partial z}{\partial r} = f_{x} \frac{\partial x}{\partial r} + f_{y} \frac{\partial y}{\partial r}$

$= f_{x} \cdot cos θ + f_{y} \cdot sin θ$ 　

$z$ を $θ$ で偏微分する．

$\frac{\partial z}{\partial θ} = f_{x} \frac{\partial x}{\partial θ} + f_{y} \frac{\partial y}{\partial θ}$

$= f_{x} \cdot (- r sin θ) + f_{y} \cdot r cos θ$

$= r (- f_{x} sin θ + f_{y} cos θ)$

以上より

${(\frac{d z}{d r})}^{2} + \frac{1}{r^{2}} {(\frac{d z}{d θ})}^{2}$

$= {(f_{x} \cdot cos θ + f_{y} \cdot sin θ)}^{2}$ $+ \frac{1}{r^{2}} {r (- f_{x} sin θ + f_{y} cos θ)}^{2}$

$= (f_{x}^{2} {cos}^{2} θ + 2 f_{x} f_{y} cos θ sin θ + f_{y}^{2} {sin}^{2} θ)$

$+ \frac{1}{r^{2}} {r^{2} (f_{x}^{2} {sin}^{2} θ - 2 f_{x} f_{y} cos θ sin θ + f_{y}^{2} {cos}^{2} θ)}$

$= (f_{x}^{2} {cos}^{2} θ + 2 f_{x} f_{y} cos θ sin θ + f_{y}^{2} {sin}^{2} θ)$

$+ (f_{x}^{2} {sin}^{2} θ - 2 f_{x} f_{y} cos θ sin θ + f_{y}^{2} {cos}^{2} θ)$

$= f_{x}^{2} {cos}^{2} θ + f_{x}^{2} {sin}^{2} θ + f_{y}^{2} {sin}^{2} θ + f_{y}^{2} {cos}^{2} θ$

$= f_{x}^{2} ({cos}^{2} θ + {sin}^{2} θ) + f_{y}^{2} ({sin}^{2} θ + {cos}^{2} θ)$

$= f_{x}^{2} + f_{y}^{2}$

$= {(\frac{\partial z}{\partial x})}^{2} + {(\frac{\partial z}{\partial y})}^{2}$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月29日