問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

偏微分

■問題

次の関数の第2次偏導関数を求めよ．

${\displaystyle z=3x-2y}$

■答

すべて${\displaystyle 0}$

■ヒント

2次偏導関数${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}}$ ，${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}}$ ，${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}}$，${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}}$ の4つを求める．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$ ，${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$ を計算してから，それぞれを更に$x$，$y$で偏微分する．

■解説

●${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$ の計算

${\displaystyle z=3x-2y}$を偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left(3x-2y\right)=3}$　･･････(1)

●${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$ の計算

${\displaystyle z=3x-2y}$を偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(3x-2y\right)=2}$　･･････(2)

●${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}}$ の計算

(1)を更に， 偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{\partial }{\partial x}3=0}$

すなわち

${\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial x^2}}$${\displaystyle =0}$

●${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}}$ の計算

(2)を更に， 偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=\frac{\partial }{\partial y}2=0}$

すなわち

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}}$${\displaystyle =0}$

●${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}}$ の計算

(1)を更に，偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{\partial }{\partial y}3=0}$

すなわち

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}=0}$

●${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}}$ の計算

(2)を更に，偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=\frac{\partial }{\partial x}2=0}$

すなわち

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=0}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月29日

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