偏微分

■問題

次の関数を偏微分せよ．

$z = e^{x y}$

■答

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = y^{2} e^{x y}$ ， $\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = x^{2} e^{x y}$ ， $\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = (1 + x y) e^{x y}$

■ヒント

2次偏導関数 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ ， $\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ ， $\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}$ ， $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ の4つを求める．

$\frac{\partial z}{\partial x}$ ， $\frac{\partial z}{\partial y}$ を計算してから，それぞれを更に $x$ ， $y$ で偏微分する．

■解説

● $\frac{\partial z}{\partial x}$ の計算

$z = e^{x y}$ を偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして $x$ で微分する．

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (e^{x y}) = y e^{x y}$ 　･･････(1)

● $\frac{\partial z}{\partial y}$ の計算

$z = e^{x y}$ を偏導関数の定義より， $x$ を定数とみなして $y$ で微分する．

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (e^{x y}) = x e^{x y}$ 　･･････(2)

● $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ の計算

(1)を更に，偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして $x$ で微分する．

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial z}{\partial x}) = \frac{\partial}{\partial x} (y e^{x y}) = y^{2} e^{x y}$

● $\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ の計算

(2)を更に，偏導関数の定義より， $x$ を定数とみなして $y$ で微分する．

$\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial y}) = \frac{\partial}{\partial y} (x e^{x y}) = x^{2} e^{x y}$

● $\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}$ の計算

(1)を更に，偏導関数の定義より， $x$ を定数とみなして $y$ で微分する．

$\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial x}) = \frac{\partial}{\partial y} (y e^{x y})$ $= e^{x y} + y e^{x y} \cdot x$ $= (1 + x y) e^{x y}$ 　･･････(3)

● $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ の計算

(2)を更に，偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして $x$ で微分する．

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial z}{\partial y}) = \frac{\partial}{\partial x} (x e^{x y})$ $= e^{x y} + x e^{x y} \cdot y$ $= (1 + x y) e^{x y}$ 　･･････(4)

(3)，(4)より

$\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$

となり，2次偏導関数は偏微分する順序には無関係であることが確かめられた．

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月30日

偏微分

■問題

■答

■ヒント

■解説

● ∂z ∂x の計算

● ∂z ∂y の計算

● ∂ 2 z ∂ x 2 の計算

● ∂ 2 z ∂ y 2 の計算