問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

陰関数の接線の方程式

■問題

関係 ${\displaystyle f\left(x,y\right)=0}$ で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ の点 ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ での接線の方程式を求めよ．

■答

${\displaystyle f_x\left(a,b\right)\left(x-a\right)+f_y\left(a,b\right)\left(y-b\right)}$ ${\displaystyle =0}$

■ヒント

2変数関数 ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$を$x$ で微分する．その結果から接線の傾き${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ を求める．

■解説

${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ を${\displaystyle x=x}$ ，${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ とする合成関数と考えて，これを${\displaystyle x}$ で微分すると

${\displaystyle \frac{d}{dx}f\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle =f_x\frac{dx}{dx}+f_y\frac{dy}{dx}}$

合成関数の偏導関数の公式を用いた．

${\displaystyle =f_x+f_y\frac{dy}{dx}=0}$

よって

${\displaystyle f_y\frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =-f_x}$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =-\frac{f_x}{f_y}}$

ここで， ${\displaystyle \frac{dx}{dy}}$ は，関数${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$の任意の点での接線の傾きであるから，関数${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$上の点 ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ での傾きを ${\displaystyle m}$ とすると

${\displaystyle m=-\frac{f_x\left(a,b\right)}{f_y\left(a,b\right)}}$

となる．よって，点 ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ における接線の方程式は

${\displaystyle y-b=m\left(x-a\right)}$

${\displaystyle y-b}$${\displaystyle =-\frac{f_x\left(a,b\right)}{f_y\left(a,b\right)}\left(x-a\right)}$

${\displaystyle f_y\left(a,b\right)\left(y-b\right)}$ ${\displaystyle =-f_x\left(a,b\right)\left(x-a\right)}$

${\displaystyle f_x\left(a,b\right)\left(x-a\right)+f_y\left(a,b\right)\left(y-b\right)}$ ${\displaystyle =0}$

となる．

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年9月16日

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