問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

2変数関数のマクローリン展開の問題

■問題

次の関数のマクローリン展開式を第3次の項まで求めよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=e^x\sin y}$

■答

${\displaystyle f\left(x,y\right)=y+xy+\frac{1}{2}{x}^{2}y-\frac{1}{6}{y}^3+\cdot \cdot \cdot }$

■ヒント

2変数のマクローリンの定理

■解き方

${\displaystyle f\left(0,0\right)=0}$

${\displaystyle f_x=e^x\sin y}$    ${\displaystyle \therefore f_x\left(0,0\right)=0}$

${\displaystyle f_y=e^x\cos y}$    ${\displaystyle \therefore f_y(0,0)=1}$

${\displaystyle f_{xx}=e^x\sin y}$    ${\displaystyle \therefore f_{xx}\left(0,0\right)=0}$

${\displaystyle f_{yy}=-e^x\sin y}$    ${\displaystyle \therefore f_{yy}(0,0)=0}$

${\displaystyle f_{yx}=e^x\cos y}$    ${\displaystyle \therefore f_{yx}(0,0)=1}$

${\displaystyle f_{xxx}=e^x\sin y}$    ${\displaystyle \therefore f_{xxx}\left(0,0\right)=0}$

${\displaystyle f_{yyy}=-e^x\cos y}$     ${\displaystyle \therefore f_{yyy}(0,0)=-1}$

${\displaystyle f_{yxx}=e^x\cos y}$    ${\displaystyle \therefore f_{yxx}(0,0)=1}$

${\displaystyle f_{yyx}=-e^x\sin y}$    ${\displaystyle \therefore f_{yyx}(0,0)=0}$

よって

${\displaystyle =y+\frac{1}{2!}\left(2xy\right)+\frac{1}{3!}(3x^{2}y-y^3)+\cdot \cdot \cdot }$

${\displaystyle =y+xy+\frac{1}{2}{x}^{2}y-\frac{1}{6}{y}^3+\cdot \cdot \cdot }$

　

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>偏微分>>偏微分の問題演習>>2変数関数のマクローリン展開の問題

最終更新日： 2024年5月28日

[ページトップ]

利用規約

google translate (English version)