2次関数の　頂点　グラフ　最小値　切片

■問題

2次関数 $y = 3 x^{2} - 12 x + 9$ $y = 3 x^{2} - 12 x + 9$ について以下の問いに答えよ．

頂点の座標を求めよ．
グラフを描け．
最小値を求めよ．
$x$ $x$ 切片， $y$ $y$ 切片を求めよ．

■動画解説

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■答

頂点の座標は $(2, - 3)$ $(2, - 3)$
最小値は， $x = 2$ $x = 2$ のときで， $- 3$ $- 3$
グラフは解説をみよ．
$x$ $x$ 切片は $1$ $1$ ， $3$ $3$ ， $y$ $y$ 切片は $9$ $9$

■解説

2次関数 $y = 3 x^{2} - 12 x + 9$ $y = 3 x^{2} - 12 x + 9$ をグラフの特徴がわかるように以下のように式を変形（平方完成）する．

$x^{2}$ $x^{2}$ の係数 $3$ $3$ で $x^{2}$ $x^{2}$ の項と $x$ $x$ の項をくくる．

$y = 3 (x^{2} - 4 x) + 9$ $y = 3 (x^{2} - 4 x) + 9$

（）の中で $4$ $4$ をたして $4$ $4$ を引く．差し引き $0$ $0$ で値は変わらない．　

$= 3 (x^{2} - 4 x + 4 - 4) + 9$ $= 3 (x^{2} - 4 x + 4 - 4) + 9$

$= 3 {{(x - 2)}^{2} - 4} + 9$ $= 3 \{{(x - 2)}^{2} - 4\} + 9$

$= 3 {(x - 2)}^{2} + 3 (- 4) + 9$ $= 3 {(x - 2)}^{2} + 3 (- 4) + 9$

$= 3 {(x - 2)}^{2} - 3$ $= 3 {(x - 2)}^{2} - 3$

よって，頂点の座標は $(2, - 3)$ $(2, - 3)$ となる．

グラフを描くために更に式を変形する．

$y + 3 = 3 {(x - 2)}^{2}$ $y + 3 = 3 {(x - 2)}^{2}$

$\frac{y + 3}{3} = {(\frac{x - 2}{1})}^{2}$ $\frac{y + 3}{3} = {(\frac{x - 2}{1})}^{2}$

この式より，求めるグラフは，2次関数の最も単純な $y = x^{2}$ $y = x^{2}$ のグラフを，原点を中心として $y$ $y$ 軸方向 $3$ $3$ 倍（拡大）した後， $x$ $x$ 軸方向に $2$ $2$ ， $y$ $y$ 軸方向に $- 3$ $- 3$ 平行移動したものである（拡大→平行移動を参照）．グラフを下の図に示す．

最小値は， $x = 2$ $x = 2$ のときで， $- 3$ $- 3$ となる．

$x$ $x$ 切片を求める．

$y = 0$ $y = 0$ のときの $x$ $x$ の値であるので

$3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$ $3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

の2次方程式を解けばよい．

因数分解する．

各項の共通因数である $3$ $3$ でくくる．

$3 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$ $3 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

(　)の中をたすきがけで因数分解する．

$\begin{array}{l} 1 & _{↘} {}_{↗} & - 1 & \to & - 1 \\ 1 & ^{↗} {}^{↘} & - 3 & \to & - 3 \\ - 4 \end{array}$

$3 (x - 3) (x - 1) = 0$

よって， $x = 1, 3$ となる．すなわち， $x$ 切片は $1$ ， $3$ となる．

$y$ 切片を求める．

$x = 0$ のときの $y$ の値であるので

$y = 3 \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0 + 9$

よって， $y = 9$ となる．すなわち， $y$ 切片は $9$ となる．

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最終更新日： 2025年2月20日

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