直線の方程式に関する問題

■問題

2点 $(2, 3)$ $(2, 3)$ と $(5, 9)$ $(5, 9)$ を通る直線の方程式を求め，グラフをかけ．

■動画解説

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■答

$y = 2 x - 1$ $y = 2 x - 1$

■ヒント

直線の方程式のページを参考にする．

■解説

2点 $(x_{0}, y_{0})$ $(x_{0}, y_{0})$ ， $(x_{1}, y_{1})$ $(x_{1}, y_{1})$ を通りる直線の方程式は

$y - y_{0} = \frac{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}} (x - x_{0})$ $y - y_{0} = \frac{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}} (x - x_{0})$ ･･････(1)

（直線の方程式のページの(7)の式）

である．

この問題の場合， $(x_{0}, y_{0}) = (2, 3)$ $(x_{0}, y_{0}) = (2, 3)$ ， $(x_{1}, y_{1}) = (5, 9)$ $(x_{1}, y_{1}) = (5, 9)$ である.

よって，求める直線の方程式は

$y - 3 = \frac{9 - 3}{5 - 2} (x - 2)$ $y - 3 = \frac{9 - 3}{5 - 2} (x - 2)$

$y = 2 (x - 2) + 3$ $y = 2 (x - 2) + 3$

$y = 2 x - 1$ $y = 2 x - 1$

となる．

●別解1

(1)の式を覚えていなくても平行移動の考え方を適用するとよい．

2点 $(2, 3)$ $(2, 3)$ と $(5, 9)$ $(5, 9)$ を通ることより，直線の傾きは

$x$ $x$ の増加量 $Δ x = 5 - 2$ $Δ x = 5 - 2$ ， $y$ $y$ の増加量 $Δ y = 9 - 3$ $Δ y = 9 - 3$

より

$\frac{9 - 3}{5 - 2} = 2$ $\frac{9 - 3}{5 - 2} = 2$

となる．また，直線は点 $(2, 3)$ $(2, 3)$ を通る．よって，求める直線のグラフは

$y = 2 x$ $y = 2 x$ ･･････(2)

のグラフを $x$ $x$ 軸方向に $2$ $2$ ， $y$ $y$ 軸方向に $3$ $3$ 平行移動したものになる，したがって，求める直線の方程式は，(2)の $x$ $x$ を $x - 2$ $x - 2$ ， $y$ $y$ を $y - 3$ $y - 3$ に置き換えた

$y - 3 = 2 (x - 2)$ $y - 3 = 2 (x - 2)$

となる．これを整理すると

$y = 2 x - 1$ $y = 2 x - 1$

となる．

●別解2

直線の方程式は

$y = a x + b$ $y = a x + b$ （ $a$ $a$ ：直線の傾き, $b$ $b$ ： $y$ $y$ 切片）　･･････(3)

（直線の方程式のページの(6)の式，1次関数のページも参照）

となることを知っていれば簡単に直線の方程式を導くことができる．

直線が点 $(2, 3)$ $(2, 3)$ を通ることより， $x$ $x$ に $2$ $2$ ， $y$ $y$ に $3$ $3$ を代入しても(3)の関係は成り立つ．

よって

$3 = a \cdot 2 + b$ $3 = a \cdot 2 + b$ ･･････(4)

が成り立つ．

直線が点 $(5, 9)$ $(5, 9)$ を通ることより， $x$ $x$ に $5$ $5$ ， $y$ $y$ に $9$ $9$ を代入しても(3)の関係は成り立つ．

よって

$9 = a \cdot 5 + b$ $9 = a \cdot 5 + b$ ･･････(5)

が成り立つ．

(4)と(5)の連立方程式から $a$ $a$ ， $b$ $b$ を求める．

(5)ー(4)より

$6 = 3 a$ $6 = 3 a$

$a = 2$ $a = 2$

が得られる．これを(4)に代入すると

$3 = 2 \cdot 2 + b$ $3 = 2 \cdot 2 + b$

$b = - 1$ $b = - 1$

以上より求める直線の方程式は

$y = 2 x - 1$ $y = 2 x - 1$

となる．

●直線のグラフ

2点 $(2, 3)$ $(2, 3)$ と $(5, 9)$ $(5, 9)$ を通る直線をかく．

$x$ $x$ 切片を求める．直線の方程式の $y$ $y$ に $0$ $0$ を代入すると

$0 = 2 x - 1$ $0 = 2 x - 1$

$2 x = 1$ $2 x = 1$

$x = \frac{1}{2}$ $x = \frac{1}{2}$

となり， $x$ $x$ 切片は $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ である．

$y$ $y$ 切片を求める．直線の方程式の $x$ $x$ に $0$ $0$ を代入すると

$y = 2 \cdot 0 - 1$ $y = 2 \cdot 0 - 1$

$y = - 1$ $y = - 1$

となり， $y$ $y$ 切片は $- 1$ $- 1$ である．

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最終更新日： 2025年2月9日

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●別解2

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