2次不等式に関する問題

■問題

2次不等式

$2 x^{2} - 12 x + 19 < 0$ $2 x^{2} - 12 x + 19 < 0$ ･･････(1)

の解を求めよ．

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■答

解なし

■解説

(1)の2次不等式の左辺を平方完成する．

$2 x^{2} - 12 x + 19 < 0$ $2 x^{2} - 12 x + 19 < 0$

$2 (x^{2} - 6 x) + 19 < 0$ $2 (x^{2} - 6 x) + 19 < 0$

$2 \{x^{2} - 6 x + {(- 3)}^{2} - {(- 3)}^{2}\} + 19 < 0$ $2 \{x^{2} - 6 x + {(- 3)}^{2} - {(- 3)}^{2}\} + 19 < 0$

$2 \{{(x - 3)}^{2} - 9\} + 19 < 0$ $2 \{{(x - 3)}^{2} - 9\} + 19 < 0$

$2 {(x - 3)}^{2} - 18 + 19 < 0$ $2 {(x - 3)}^{2} - 18 + 19 < 0$

$2 {(x - 3)}^{2} + 1 < 0$ $2 {(x - 3)}^{2} + 1 < 0$ ･･････(2)

(2)の左辺は， ${(x - 3)}^{2} ≧ 0$ ${(x - 3)}^{2} ≧ 0$ より

$2 {(x - 3)}^{2} + 1 ≧ 1$ $2 {(x - 3)}^{2} + 1 ≧ 1$ ･･････(3)

である．

よって，(2)を満たす $x$ $x$ は存在しない. したがって，(1) の不等式の解はなしとなる．

●備考

$2 x^{2} - 12 x + 19$ $2 x^{2} - 12 x + 19$ を因数分解するために， $2 x^{2} - 12 x + 19 = 0$ $2 x^{2} - 12 x + 19 = 0$ の解を解の公式( $x$ $x$ の係数が偶数の場合の公式を使用）を使って求めようとすると

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 2 \cdot 19}}{2}$ $x = \frac{- 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 2 \cdot 19}}{2}$ $= \frac{- 6 \pm \sqrt{- 2}}{2}$ $= \frac{- 6 \pm \sqrt{- 2}}{2}$

のように，ルートの中が負の値になり，実数解が存在しないことに気が付く．よって，(1)の左辺を平方完成することにした．

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最終更新日： 2025年2月9日

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