●知識グラフ全体 ，●問題を解くのに必要な知識を確認するにはこの知識グラフを利用してください．

2次関数の最小値問題

■問題

点$\text{P}$ が直線${\displaystyle \frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1}$ 上を動くとき，原点$\text{O}$から点$\text{P}$までの距離の最小値と，そのときの点$\text{P}$の座標を求めよ．

■答

最小値は${\displaystyle \frac{12}{\sqrt{13}}}$ で，このときの点$\text{P}$の座標は${\displaystyle \left(\frac{24}{13},\frac{36}{13}\right)}$

■ヒント

点$\text{P}$の座標を${\displaystyle \left(x,y\right)}$ とし，原点$\text{O}$から点$\text{P}$までの距離$L$ を$x$ の関数として表す．

■解説

${\displaystyle \frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1}$より

${\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+4}$  ･･････(1)

となる．

点$\text{P}$の座標を${\displaystyle \left(x,y\right)}$ とし，原点$\text{O}$から点$\text{P}$までの距離を$L$ とすると

${\displaystyle L=\sqrt{x^2+y^2}}$   ･･････(2)

となる．

$L$ が最小となるのは，$x^2+y^2$ が最小になるとき，すなわち，${\displaystyle L^2}$ が最小になるときである．

${\displaystyle L^2=x^2+y^2}$  ･･････(3)

(1)を(3)に代入すると

${\displaystyle =x^2+{\left(-\frac{2}{3}x+4\right)}^2}$

${\displaystyle =x^2+\frac{4}{9}{x}^2-\frac{16}{3}x+16}$

これを平方完成すると

${\displaystyle =\frac{13}{9}{x}^2-\frac{16}{3}x+16}$

${\displaystyle =\frac{13}{9}\left(x^2-\frac{48}{13}x\right)+16}$

${\displaystyle =\frac{13}{9}{\left(x-\frac{24}{13}\right)}^2-\frac{13}{9}\cdot {\left(\frac{24}{13}\right)}^2+16}$

${\displaystyle =\frac{13}{9}{\left(x-\frac{24}{13}\right)}^2+\frac{144}{13}}$

よって

${\displaystyle L^2}$ は，${\displaystyle x=\frac{24}{13}}$ のとき，最小値${\displaystyle \frac{144}{13}}$

となる．このとき，

${\displaystyle y=-\frac{2}{3}\cdot \frac{24}{13}+4}$ ${\displaystyle =\frac{36}{13}}$

である．すなわち

$L$の最小値は${\displaystyle \sqrt{\frac{144}{13}}=\frac{12}{\sqrt{13}}}$ で，このときの点$\text{P}$の座標は${\displaystyle \left(\frac{24}{13},\frac{36}{13}\right)}$

である．

●別解1

原点$\text{O}$から点$\text{P}$ までの距離が最小になるのは，直線${\displaystyle \frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1}$と原点$\text{O}$から点$\text{P}$を結ぶ線分が垂直になるときである．

直線${\displaystyle \frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1}$，言い換えると，${\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+4}$に垂直な直線の傾きを$a$ とすると，2直線が垂直であることから

${\displaystyle a\left(-\frac{2}{3}\right)=-1}$

の関係がある．よって

${\displaystyle a=\frac{3}{2}}$

となる．したがって，原点$\text{O}$を通り，直線${\displaystyle \frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1}$に垂直な直線の式は

${\displaystyle y=\frac{3}{2}x}$  ･･････(5)

となる．

以上より，点$\text{P}$は直線(1)と直線(5)の交点である．この交点の座標を求める．

(1)，(5)より

${\displaystyle -\frac{2}{3}x+4=\frac{3}{2}x}$ ，${\displaystyle \frac{3}{2}x+\frac{2}{3}x=4}$ ，${\displaystyle \frac{13}{6}x=4}$ ，${\displaystyle x=\frac{24}{13}}$  ･･････(6)

(6)を(5)に代入すると

${\displaystyle y=\frac{3}{2}\cdot \frac{24}{13}=\frac{36}{13}}$

となり，点$\text{P}$の座標は${\displaystyle \left(\frac{24}{13},\frac{36}{13}\right)}$ となる．

したがって，原点$\text{O}$から点$\text{P}$までの距離の最小値は

${\displaystyle L=\sqrt{{\left(\frac{24}{13}\right)}^2+{\left(\frac{36}{13}\right)}^2}}$${\displaystyle =\sqrt{{\left(\frac{12\cdot 2}{13}\right)}^2+{\left(\frac{12\cdot 3}{13}\right)}^2}}$${\displaystyle =\frac{12}{13}\sqrt{2^2+3^2}}$${\displaystyle =\frac{12}{13}\sqrt{13}}$${\displaystyle =\frac{12}{\sqrt{13}}}$

となる．

●別解2

原点$\text{O}$から点$\text{P}$までの距離が最小になるのは，原点$\text{O}$を中心とする円が直線${\displaystyle \frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1}$に接するときである．このとき，その接点が距離を最小にする点$\text{P}$であり，円の半径が求める最小距離となる．

原点$\text{O}$を中心とする半径$r$の円の方程式は

${\displaystyle x^2+y^2=r^2}$  ･･････(7)

となる．円と直線が接するための条件は，(7)に(1)を代入して得られる$x$ に関する2次方程式

${\displaystyle x^2+{\left(-\frac{2}{3}x+4\right)}^2=r^2}$

${\displaystyle x^2+\frac{4}{9}{x}^2-\frac{16}{3}x+16=r^2}$

${\displaystyle \frac{13}{9}{x}^2-\frac{16}{3}x+16-r^2=0}$  ･･････(8)

が重解をもつことである．したがって，この2次方程式の判別式を$D$とすると， $D=0$ のときである．すなわち

${\displaystyle \frac{D}{4}={\left(\frac{8}{3}\right)}^2-\frac{13}{9}\left(16-r^2\right)=0}$

のときである．これを$r$について解く．

${\displaystyle \frac{64}{9}-\frac{13\cdot 16}{9}+\frac{13}{9}{r}^2=0}$

${\displaystyle \frac{13}{9}{r}^2=\frac{144}{9}}$

${\displaystyle r^2=\frac{144}{13}}$

${\displaystyle r>0}$より

${\displaystyle r=\frac{12}{\sqrt{13}}}$  ･･････(9)

よって，距離の最小値は${\displaystyle \frac{12}{\sqrt{13}}}$

点$\text{P}$の座標は以下の手順で求める．(8)，(9)より$x$ を求め，これを(1)に代入すると$y$ が求まる．

■備考

距離の最小値だけを求めるなら，点と直線の距離の公式を用いて計算することもできる．

　

ホーム>>カテゴリー分類>>関数>>関数の演習問題>>1次関数，2次関数などに関する問題>>2次関数の最小値問題

最終更新日 2026年10月24日

[ページトップ]

利用規約，誤植や誤りなどがございましたら、こちらからご連絡ください。