極限の計算問題

■問題

次の極限を求めよ．

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{x}$

$1$

三角関数の極限では $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用できるように式変形すると極限が求まる場合が多い．

関係式を利用するために分母，分子に $\sin x$ を掛けると

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{x}$ $= \lim_{x \to 0} (\frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{x})$

となり，上記の関係式を含む式になった．

$x \to 0$ のとき， $e^{\sin x} - 1 \to 0$ ， $x \to 0$ となり， $\frac{0}{0}$ の不定形となる．

分母，分子に $\sin x$ を掛けて、 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用できるように式変形すると

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{x}$ $= \lim_{x \to 0} (\frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{x})$

$= (\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x}) (\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x})$ （∵ここを参照）･･････(1)

(1)の右辺の左側の極限の式において， $y = \sin x$ とおくと， $x \to 0$ のとき $y \to 0$ であるから

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x}$ $= \lim_{y \to 0} \frac{e^{y} - 1}{y}$ $= 1$ （∵ $lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$ ）

(1)の右辺の右側の極限式は，ヒントでの関係式より

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

したがって，求める極限値は

与式＝ $1 \times 1$ $= 1$

となる．

$\frac{0}{0}$ のような不定形となるとき，ロピタルの定理を用いると極限が求まる場合が多い．

定理より求める極限値は分子，分母をそれぞれ別々に $x$ で微分した極限値に等しい．

したがって，以下に示す式が成り立つ．

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{x}$ $= \lim_{x \to 0} \frac{{(e^{\sin x} - 1)}^{'}}{{(x)}^{'}}$

${(e^{\sin x} - 1)}^{'}$ $= e^{\sin x} \cos x$ ， ${(x)}^{'}$ $= 1$ より

$= \lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} \cos x}{1}$ $= e^{0} \cdot \cos 0$ $= 1 \cdot 1 = 1$

最終更新日： 2026年6月10日