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極限の計算問題

■問題

次の極限を求めよ．

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x\sin x}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}}$

■ヒント

三角関数の極限では ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1}$ を利用できるように式変形すると極限が求まる場合が多い．

関係式を利用するために分母，分子に${\displaystyle 1+\cos x}$ を掛けると

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x\sin x}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(1-\cos x\right)\left(1+\cos x\right)}{x\sin x\left(1+\cos x\right)}}$

${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\sin }^{2}x}{x\sin x\left(1+\cos x\right)}}$

${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x\left(1+\cos x\right)}}$

となり，上記の関係式を含む式になった．

■解き方

${\displaystyle x\to 0}$ のとき，${\displaystyle 1-\cos x\to 0}$ ，${\displaystyle x\sin x\to 0}$ となり，${\displaystyle \frac{0}{0}}$ の不定形となる．

分母，分子に${\displaystyle 1+\cos x}$ を掛けて ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1}$ を利用できるように式変形すると

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x\sin x}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(1-\cos x\right)\left(1+\cos x\right)}{x\sin x\left(1+\cos x\right)}}$

${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\sin }^{2}x}{x\sin x\left(1+\cos x\right)}}$

${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x\left(1+\cos x\right)}}$

${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\sin x}{x}\right)\cdot \underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{1+\cos x}\right)}$  （∵ここを参照）

右側の極限式において

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{1+\cos x}\right)}$ ${\displaystyle =\frac{1}{1+1}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}}$

左側の極限式は上記の関係式より

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1}$

となる．

したがって求める極限値は

与式＝${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\sin x}{x}\right)\cdot \underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{1+\cos x}\right)}$

${\displaystyle =1\times \frac{1}{2}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}}$

となる．

●別解

${\displaystyle \frac{0}{0}}$ のような不定形となるとき，ロピタルの定理を用いると極限が求まる場合が多い．

定理より求める極限値は分子，分母をそれぞれ別々に${\displaystyle x}$ で微分した極限値に等しい．

したがって，以下に示す式が成り立つ．

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x\sin x}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left(1-\cos x\right)}^{\text{'}}}{{\left(x\sin x\right)}^{\text{'}}}}$

${\displaystyle {\left(1-\cos x\right)}^{\text{'}}=\sin x}$ ，${\displaystyle {\left(x\sin x\right)}^{\text{'}}=\sin x+x\cos x}$ より

${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{\sin x+x\cos x}}$

${\displaystyle x\to 0}$ のとき，${\displaystyle \sin x\to 0}$， ${\displaystyle \sin x+x\cos x\to 0}$ より，${\displaystyle \frac{0}{0}}$の不定形となる．

再度，ロピタルの定理を用いる．

${\displaystyle {\left(\sin x\right)}^{\text{'}}=\cos x}$，${\displaystyle {\left(\sin x+x\cos x\right)}^{\text{'}}=2\cos x-\sin x}$ より

${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left(\sin x\right)}^{\text{'}}}{{\left(\sin x+x\cos x\right)}^{\text{'}}}}$

${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{2\cos x-\sin x}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2-0}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}}$

したがって，求める極限値は

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x\sin x}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}}$

となる．

 

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最終更新日： 2026年6月10日

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