極限の計算問題

■問題

次の極限を求めよ．

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{\sqrt{x + 4} - 2}$

■答

$\frac{2}{3}$

■ヒント

$x \to 0$ のとき，分子 $\to 0$ ，分母 $\to 0$ となり， $\frac{0}{0}$ の不定形となる．

$x \to 0$ のとき，分子 $\to 0$ ，分母 $\to 0$ となり，分母，分子の式には因数 $x$ が含まれる（因数定理を参照）．

しかし，分子と分母には $x$ が現れていない．分母の $\sqrt{x + 4} - 2$ ，分子の $\sqrt{x + 9} - 3$ は以下のように式変形できる．

$\sqrt{x + 4} - 2$ $= \frac{(\sqrt{x + 4} - 2) (\sqrt{x + 4} + 2)}{\sqrt{x + 4} + 2}$ $= \frac{x + 4 - 4}{\sqrt{x + 4} + 2}$ $= \frac{x}{\sqrt{x + 4} + 2}$

$\sqrt{x + 9} - 3$ $= \frac{(\sqrt{x + 9} - 3) (\sqrt{x + 9} + 3)}{\sqrt{x + 9} + 3}$ $= \frac{x + 9 - 9}{\sqrt{x + 9} + 3}$ $= \frac{x}{\sqrt{x + 9} + 3}$

■解き方

$x \to 0$ のとき，分子 $\to 0$ ，分母 $\to 0$ となり， $\frac{0}{0}$ の不定形となる．

そこで共通因数 $x$ を出現させるために，分子と分母に $(\sqrt{x + 9} + 3) (\sqrt{x + 4} + 2)$ を掛けると

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{\sqrt{x + 4} - 2}$ $= \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x + 9} - 3) (\sqrt{x + 9} + 3) (\sqrt{x + 4} + 2)}{(\sqrt{x + 4} - 2) (\sqrt{x + 9} + 3) (\sqrt{x + 4} + 2)}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{x (\sqrt{x + 4} + 2)}{x (\sqrt{x + 9} + 3)}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} + 2}{\sqrt{x + 9} + 3}$

$= \frac{2 + 2}{3 + 3}$

$= \frac{2}{3}$

となる．

よって求める極限値は

$\frac{2}{3}$

となる．

●別解

$\frac{0}{0}$ のような不定形となるとき，ロピタルの定理を用いると極限が求まる場合が多い．

定理より求める極限値は分子，分母をそれぞれ別々に $x$ で微分した極限値に等しい．

したがって，以下に示す式が成り立つ．

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{\sqrt{x + 4} - 2}$ $= \lim_{x \to 0} \frac{{(\sqrt{x + 9} - 3)}^{'}}{{(\sqrt{x + 4} - 2)}^{'}}$

${(\sqrt{x + 9} - 3)}^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x + 9}}$ ， ${(\sqrt{x + 4} - 2)}^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x + 4}}$ より

$= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x + 9}}}{\frac{1}{2 \sqrt{x + 4}}}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4}}{\sqrt{x + 9}}$

$= \frac{2}{3}$

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最終更新日： 2026年6月11日