極限の計算問題

■問題

次の極限を求めよ．

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x + 1} - 1}{x}$

■答

$\frac{1}{3}$

■ヒント

$x \to 0$ のとき，分子 $\to 0$ ，分母 $\to 0$ となり， $\frac{0}{0}$ の不定形となる．

$x \to 0$ のとき，分子 $\to 0$ ，分母 $\to 0$ となり，分母，分子の式には因数 $x$ が含まれる（因数定理を参照）．

分母には $x$ が現れているが，分子には $x$ が現れていない．

$x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})$ を参考にして， $\sqrt[3]{x + 1} - 1$ を式変形すると

$\sqrt[3]{x + 1} - 1$ $= \frac{(\sqrt[3]{x + 1} - 1) ({(\sqrt[3]{x + 1})}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} + 1)}{{(\sqrt[3]{x + 1})}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} + 1}$

$= \frac{(x + 1 - 1)}{{(\sqrt[3]{x + 1})}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} + 1}$

$= x \cdot \frac{1}{{(\sqrt[3]{x + 1})}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} + 1}$

と式変形でき，因数 $x$ が含まれる式となる．

■解き方

$x \to 0$ のとき，分子 $\to 0$ ，分母 $\to 0$ となり， $\frac{0}{0}$ の不定形となる．

そこで共通因数 $x$ を出現させるために分子を有理化する．

$3$ 次式の因数分解の公式 $x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})$ を参考にして，分子と分母に ${(\sqrt[3]{x + 1})}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} + 1$ を掛けると

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x + 1} - 1}{x}$ $= \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt[3]{x + 1} - 1) ({(\sqrt[3]{x + 1})}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} + 1)}{x ({(\sqrt[3]{x + 1})}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} + 1)}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{1}{{(\sqrt[3]{x + 1})}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} + 1}$

$= \frac{1}{{(\sqrt[3]{0 + 1})}^{2} + \sqrt[3]{0 + 1} + 1}$

$= \frac{1}{3}$

となる．

●別解

$x \to 0$ のとき，分子 $\to 0$ ，分母 $\to 0$ となり， $\frac{0}{0}$ の不定形となる．

よって，ロピタルの定理を利用する．

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x + 1} - 1}{x}$ $= \lim_{x \to 0} \frac{{(\sqrt[3]{x + 1} - 1)}^{'}}{{(x)}^{'}}$ $= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x + 1})}^{2}}}{1}$ $= \frac{1}{3}$

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最終更新日： 2026年6月11日