ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-y^{\prime }-2y=4t^2}$

(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=1}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=-1}$)

■答

${\displaystyle y=-2t^2+2t-3+\frac{1}{3}{e}^{2t}+\frac{11}{3}{e}^{-t}}$

■ヒント

ラプラス変換　微分則を用いて解く

■解き方

ラプラス変換すると

${\displaystyle y\stackrel{\mathcal{L}}{\to }Y\left(s\right)}$

${\displaystyle y^{\prime }\stackrel{\mathcal{L}}{\to }sY\left(s\right)-y\left(0\right)}$

${\displaystyle y^{″}\stackrel{\mathcal{L}}{\to }{s}^{2}Y\left(s\right)-s\cdot y\left(0\right)-y^{\prime }\left(0\right)}$

となり，これらを式に代入

${\displaystyle s^{2}Y\left(s\right)-sy\left(0\right)-y^{\prime }\left(0\right)-\left(sY\left(s\right)-y\left(0\right)\right)}$${\displaystyle -2Y\left(s\right)}$${\displaystyle =\frac{8}{s^3}}$

初期条件より

${\displaystyle s^{2}Y\left(s\right)-s+1-\left(sY\left(s\right)-1\right)}$${\displaystyle -2Y\left(s\right)}$${\displaystyle =\frac{8}{s^3}}$

${\displaystyle \left(s^2-s-2\right)Y\left(s\right)=\frac{8}{s^3}+s-2}$

${\displaystyle Y\left(s\right)=\frac{\frac{8}{s^3}+s-2}{s^2-s-2}}$

${\displaystyle Y\left(s\right)=\frac{\frac{8}{s^3}+s-2}{\left(s-2\right)\left(s+1\right)}}$

${\displaystyle Y\left(s\right)=\frac{8}{s^3\left(s-2\right)\left(s+1\right)}+\frac{1}{s+1}}$

ここで，部分分数分解をする．

${\displaystyle Y\left(s\right)}$${\displaystyle =\frac{k_1}{s}+\frac{k_2}{s^2}+\frac{k_3}{s^3}+\frac{k_4}{s-2}+\frac{k_5}{s+1}}$${\displaystyle +\frac{1}{s+1}}$

部分分数分解前と後の分子を係数比較すると

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{k}_1+k_4+k_5=0\\ -k_1+k_2+k_4-2k_5=0\\ -2k_1-k_2+k_3=0\\ -2k_2-k_3=0\\ -2k_3=8\end{array}}$

${\displaystyle k_1=-3}$，${\displaystyle k_2=2}$，${\displaystyle k_3=-4}$，${\displaystyle k_4=\frac{1}{3}}$，${\displaystyle k_5=\frac{8}{3}}$

よって

${\displaystyle Y\left(s\right)=-\frac{3}{s}+\frac{2}{s^2}-\frac{4}{s^3}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{s-2}}$${\displaystyle +\frac{8}{3}\cdot \frac{1}{s+1}}$${\displaystyle +\frac{1}{s+1}}$

逆ラプラス変換をする⇒ラプラス変換表はこちら

${\displaystyle y=-2t^2+2t-3+\frac{1}{3}{e}^{2t}+\frac{11}{3}{e}^{-t}}$

■別解

微分方程式で解く

特性方程式

${\displaystyle {\lambda }^2-\lambda -2=0}$

より

${\displaystyle \left(\lambda -2\right)\left(\lambda +1\right)=0}$

${\displaystyle \lambda =2,-1}$

よって一般解は

${\displaystyle y=C_1{e}^{2t}+C_2{e}^{-t}}$(同次微分方程式の解法を参照)

次に，未定計数法により特殊解を求める．

${\displaystyle {\left(K_2{t}^2+K_{1}t+K_0\right)}^{\prime \text{}\prime }}$ ${\displaystyle -{\left(K_2{t}^2+K_{1}t+K_0\right)}^{\prime }}$ ${\displaystyle -2\left(K_2{t}^2+K_{1}t+K_0\right)}$${\displaystyle =4t^2}$

${\displaystyle -2K_2{t}^2-t\left(2K_2+2K_1\right)+2K_2-K_1}$${\displaystyle -2K_0}$${\displaystyle =4t^2}$

${\displaystyle \{\begin{array}{l}-2K_2=4\\ 2K_2+2K_1=0\\ 2K_2-K_1-2K_0=0\end{array}}$

${\displaystyle K_2=-2,K_1=2,K_0=-3}$

よって

${\displaystyle y_p=-2t^2+2t-3}$

以上より

${\displaystyle y=-2t^2+2t-3+C_1{e}^{2t}+C_2{e}^{-t}}$(ただし ${\displaystyle C_1,C_2}$ は任意定数)

${\displaystyle y^{\prime }=-4t+2+2C_1{e}^{2t}-C_2{e}^{-t}}$

初期条件より

${\displaystyle y\left(0\right)=-3+C_1+C_2}$ ……(1)

${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=2+2C_1-C_2}$ ……(2)

(1)，(2)より

${\displaystyle C_1=\frac{1}{3},C_2=\frac{11}{3}}$

よって

${\displaystyle y=-2t^2+2t-3+\frac{1}{3}{e}^{2t}+\frac{11}{3}{e}^{-t}}$

　

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最終更新日： 2023年6月6日