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問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

べき級数に展開する問題

■問題

次の関数をべき級数展開マクローリン展開)をせよ.

131+2x

■ヒント

(1+x)α のマクローリン展開の公式

(1+x)α=1+αx+α(α1)2!x2+α(α1)(α2)3!x3+

を用いる.

■答

131+2x=(1+2x)32

したがって, (1+x)α のマクローリン展開の公式x2xα32 に置き換える.

131+2x=123x+89x211281x3+

■別解

f(x)=131+2x=(1+2x)13 とおく.  f(0)=113=1 

f(x)=(13)(1+2x)43(1+2x)=(13)(1+2x)432=(23)(1+2x)43   f(0)=23  

f   f ( 0 )= 16 9  

f ( x )=( 16 9 )( 7 3 ) ( 1+2x ) 10 3 ( 1+2x ) =( 224 27 ) ( 1+2x ) 10 3   f ( 0 )= 224 27  

したがって,マクローリン展開の公式 

f( x )=f( 0 )+ f ' ( 0 )x+ f '' ( 0 ) 2! x 2 + f ''' ( 0 ) 3! x 3 ++ f ( n ) ( 0 ) n! x n +  

に代入して 

1 1+2x 3 =1+( 2 3 )x+ ( 16 9 ) 2! x 2 + ( 224 27 ) 3! x 3 +

=1 2 3 x+ 8 9 x 2 112 81 x 3 +

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2022年6月5日

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