問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

べき級数に展開する問題

■問題

次の関数をべき級数展開（マクローリン展開）をせよ．

${\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$

■ヒント

${\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}}$ とおいて，${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)}$ ，${\displaystyle f^{″}\left(x\right)}$ ，${\displaystyle f^{‴}\left(x\right)}$ を計算するのは大変である．よって

${\displaystyle \frac{1}{1-x}}$ のマクローリン展開の公式

${\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots }$

を用いる．

■答

${\displaystyle \frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{1-(-x^2)}}$

${\displaystyle \frac{1}{1-x}}$ のマクローリン展開の公式の${\displaystyle x}$ を ${\displaystyle -x^2}$ に置き換える

${\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$ ${\displaystyle =1+(-x^2)+{(-x^2)}^2+{(-x^2)}^3+\cdots }$

${\displaystyle =1-x^2+x^4-x^6+\cdots }$

■参考

${\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots }$

${\displaystyle x=-t^2}$ を代入する

${\displaystyle \frac{1}{1-(-t^2)}}$${\displaystyle =1+(-t^2)+{(-t^2)}^2+{(-t^2)}^3+\cdots }$

${\displaystyle =1-t^2+t^4-t^6+\cdots }$

${\displaystyle t}$ を${\displaystyle x}$に書き換えても等式は成り立つ．

${\displaystyle x}$ を${\displaystyle -x^2}$ に置き換えることは上記一連の手続きを短縮したものである．

 

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年6月29日

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