問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

べき級数に展開する問題

■問題

次の問題をべき級数に展開せよ．

${\displaystyle log\frac{1+x}{1-x}}$

■ヒント

${\displaystyle log\left(1+x\right)}$ マクローリン展開の公式

${\displaystyle log\left(1+x\right)=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4+\cdots }$

を用いる．

■答

${\displaystyle log\frac{1+x}{1-x}=log\left(1+x\right)-log\left(1-x\right)}$ （注意）

${\displaystyle =\left(x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4+\cdots \right)}$${\displaystyle -\left(-x-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4+\cdots \right)}$

${\displaystyle =2x+\frac{2}{3}{x}^3+\frac{2}{5}{x}^5+\frac{2}{7}{x}^7+\cdots }$

■注意

真数条件，すなわち ${\displaystyle \frac{1+x}{1-x}>0}$ より

・ ${\displaystyle 1-x>0}$ の場合， ${\displaystyle 1+x>0}$ となる．

すなわち${\displaystyle -1<x<1}$

・ ${\displaystyle 1-x<0}$ の場合， ${\displaystyle 1+x<0}$ となるが，${\displaystyle 1-x<0}$，${\displaystyle 1+x<0}$，両方を満たす

${\displaystyle x}$ は存在しない．

したがって

${\displaystyle \frac{1+x}{1-x}>0}$のとき，すなわち${\displaystyle -1<x<1}$のとき，${\displaystyle 1+x>0}$かつ${\displaystyle 1-x>0}$となり

${\displaystyle log\frac{1+x}{1-x}=log\left(1+x\right)-log\left(1-x\right)}$

と対数の性質を利用して式変形できる．

 

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2022年6月5日

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