問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

三角関数の合成問題

■問題

次の関数を${\displaystyle r\sin (\theta +\alpha )}$ の形に表せ．ただし，${\displaystyle r>0}$，${\displaystyle -\pi <\theta <\pi }$ とする．

${\displaystyle \sin \theta -\cos \theta }$

■答

${\displaystyle \sqrt{2}\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)}$

■ヒント

三角関数の合成公式を参考にする．

■解き方

${\displaystyle r=\sqrt{1^2+{(-1)}^2}=\sqrt{2}}$

より

${\displaystyle \sin \theta -\cos \theta }$${\displaystyle =\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta -\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta \right)}$　･･････(1)

と式を変形する．

三角関数の合成公式より

${\displaystyle \sin \theta -\cos \theta =\sqrt{2}\sin \left(\theta +\alpha \right)}$　･･････(2)

の形に変形できる．(2)に加法定理を適用すると

${\displaystyle \sqrt{2}\sin \left(\theta +\alpha \right)}$${\displaystyle =\sqrt{2}\left(\sin \theta \cos \alpha +\cos \theta \sin \alpha \right)}$　･･････(3)

となる．

(1)と(3)を比較すると

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}{\displaystyle \cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}}\\ \sin \alpha ={\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}}\end{array}\right.}$

となる連立方程式が得られる．これを解くと

${\displaystyle \alpha =-\frac{\pi }{4}}$

となる．したがって

${\displaystyle \sin \theta -\cos \theta }$${\displaystyle =\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}\sin \theta -\sin \frac{\pi }{4}\cos \theta \right)}$ ${\displaystyle =\sqrt{2}\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)}$

となる．

●作図より求める方法

座標平面上に，${\displaystyle \sin }$の係数${\displaystyle 1}$を${\displaystyle x}$成分，${\displaystyle \cos }$の係数${\displaystyle -1}$を${\displaystyle y}$ 成分とする点${\displaystyle \text{P}}$ と原点${\displaystyle \text{O}}$ を結ぶ線分${\displaystyle \text{OP}}$ を描く．線分${\displaystyle \text{OP}}$の長さが${\displaystyle r}$ ， 線分${\displaystyle \text{OP}}$ と ${\displaystyle x}$軸となす角が角度${\displaystyle \alpha }$となる．

よって

${\displaystyle r=\sqrt{2}}$ ，${\displaystyle \alpha =-\frac{\pi }{4}}$

${\displaystyle \sin \theta -\cos \theta }$${\displaystyle =\sqrt{2}\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)}$

となる．

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年3月17日

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