三角関数の合成問題

■問題

次の関数を $r \sin (θ + α)$ $r \sin (θ + α)$ の形に表せ．ただし， $r > 0$ $r > 0$ ， $- π < θ < π$ $- π < θ < π$ とする．

$\sin θ - \cos θ$ $\sin θ - \cos θ$

■解説動画

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■答

$\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})$ $\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})$

■ヒント

三角関数の合成公式を参考にする．

■解き方

$r = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2}$ $r = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2}$

より

$\sin θ - \cos θ$ $\sin θ - \cos θ$ $= \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \sin θ - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos θ)$ $= \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \sin θ - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos θ)$ ･･････(1)

と式を変形する．

三角関数の合成公式より

$\sin θ - \cos θ = \sqrt{2} \sin (θ + α)$ $\sin θ - \cos θ = \sqrt{2} \sin (θ + α)$ ･･････(2)

の形に変形できる．(2)に加法定理を適用すると

$\sqrt{2} \sin (θ + α)$ $\sqrt{2} \sin (θ + α)$ $= \sqrt{2} (\sin θ \cos α + \cos θ \sin α)$ $= \sqrt{2} (\sin θ \cos α + \cos θ \sin α)$ ･･････(3)

となる．

(1)と(3)を比較すると

$\{\begin{cases} \cos α = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \sin α = - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases}$ $\{\begin{cases} \cos α = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \sin α = - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases}$

となる連立方程式が得られる．これを解くと

$α = - \frac{π}{4}$ $α = - \frac{π}{4}$

となる．したがって

$\sin θ - \cos θ$ $\sin θ - \cos θ$ $= \sqrt{2} (\cos \frac{π}{4} \sin θ - \sin \frac{π}{4} \cos θ)$ $= \sqrt{2} (\cos \frac{π}{4} \sin θ - \sin \frac{π}{4} \cos θ)$ $= \sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})$ $= \sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})$

となる．

●作図より求める方法

座標平面上に， $\sin$ $\sin$ の係数 $1$ $1$ を $x$ $x$ 成分， $\cos$ $\cos$ の係数 $- 1$ $- 1$ を $y$ $y$ 成分とする点 $P$ $P$ と原点 $O$ $O$ を結ぶ線分 $OP$ $OP$ を描く．線分 $OP$ $OP$ の長さが $r$ $r$ ，線分 $OP$ $OP$ と $x$ $x$ 軸となす角が角度 $α$ $α$ となる．

よって

$r = \sqrt{2}$ $r = \sqrt{2}$ ， $α = - \frac{π}{4}$ $α = - \frac{π}{4}$

$\sin θ - \cos θ$ $\sin θ - \cos θ$ $= \sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})$ $= \sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})$

となる．

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2025年3月12日