三角関数の合成問題

■問題

次の関数を $r \sin (θ + α)$ $r \sin (θ + α)$ の形に表せ．ただし， $r > 0$ $r > 0$ ， $- π < θ < π$ $- π < θ < π$ とする．

$\sin θ - \sqrt{3} \cos θ$ $\sin θ - \sqrt{3} \cos θ$

■解説動画

◇三角関数の動画一覧のページへ

■答

$2 \sin (θ - \frac{π}{3})$ $2 \sin (θ - \frac{π}{3})$

■ヒント

三角関数の合成公式を参考にする．

■解答

$r = \sqrt{1^{2} + {(- \sqrt{3})}^{2}} = 2$ $r = \sqrt{1^{2} + {(- \sqrt{3})}^{2}} = 2$

より

$\sin θ - \sqrt{3} \cos θ$ $\sin θ - \sqrt{3} \cos θ$ $= 2 (\frac{1}{2} \sin θ - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos θ)$ $= 2 (\frac{1}{2} \sin θ - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos θ)$ ･･････(1)

と式を変形する．

三角関数の合成公式より

$\sin θ - \sqrt{3} \cos θ$ $\sin θ - \sqrt{3} \cos θ$ $= 2 \sin (θ + α)$ $= 2 \sin (θ + α)$ ･･････(2)

の形に変形できる．(2)に加法定理を適用すると

$2 \sin (θ + α)$ $2 \sin (θ + α)$ $= 2 (\sin θ \cos α + \cos θ \sin α)$ $= 2 (\sin θ \cos α + \cos θ \sin α)$ ･･････(3)

となる．

(1)と(3)を比較すると

$\{\begin{array}{l} \cos α = \frac{1}{2} \\ \sin α = - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}$ $\{\begin{array}{l} \cos α = \frac{1}{2} \\ \sin α = - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}$

となる連立方程式が得られる．これを解くと

$α = - \frac{π}{3}$ $α = - \frac{π}{3}$

となる．したがって

$\sin θ - \sqrt{3} \cos θ$ $\sin θ - \sqrt{3} \cos θ$ $= 2 (\cos \frac{π}{3} \sin θ - \sin \frac{π}{3} \cos θ)$ $= 2 (\cos \frac{π}{3} \sin θ - \sin \frac{π}{3} \cos θ)$ $= 2 \sin (θ - \frac{π}{3})$ $= 2 \sin (θ - \frac{π}{3})$

となる．

●作図より求める方法

座標平面上に， $\sin$ $\sin$ の係数 $1$ $1$ を $x$ $x$ 成分， $\cos$ $\cos$ の係数 $- \sqrt{3}$ $- \sqrt{3}$ を $y$ $y$ 成分とする点 $P$ $P$ と原点 $O$ $O$ を結ぶ線分 $OP$ $OP$ を描く．線分 $OP$ $OP$ の長さが $r$ $r$ ，線分 $OP$ $OP$ と $x$ $x$ 軸となす角が角度 $α$ $α$ となる．

よって

$r =$ $r =$ ， $α = - \frac{π}{3}$ $α = - \frac{π}{3}$

$\sin θ - \sqrt{3} \cos θ$ $\sin θ - \sqrt{3} \cos θ$ $= 2 \sin (θ - \frac{π}{3})$ $= 2 \sin (θ - \frac{π}{3})$

となる．

ホーム>>カテゴリー分類>>三角関数>>三角関数の問題>>三角関数の合成>>三角関数の合成問題（ $\sin θ - \sqrt{3} \cos θ$ $\sin θ - \sqrt{3} \cos θ$ ）

学生スタッフ作成

最終更新日： 2025年3月12日

三角関数の合成問題

■問題

■解説動画

◇三角関数の動画一覧のページへ

■答

■ヒント

■解答

●作図より求める方法

Chat window