三角関数の合成問題

■問題

次の関数を $r \sin (θ + α)$ $r \sin (θ + α)$ の形に表せ．ただし， $r > 0$ $r > 0$ ， $- π < θ < π$ $- π < θ < π$ とする．

$\sqrt{6} \sin θ + \sqrt{2} \cos θ$ $\sqrt{6} \sin θ + \sqrt{2} \cos θ$

■解説動画

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■答

$2 \sqrt{2} \sin (θ + \frac{π}{6})$ $2 \sqrt{2} \sin (θ + \frac{π}{6})$

■ヒント

三角関数の合成公式

$a \sin θ + b \cos θ$ $a \sin θ + b \cos θ$ $= \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (θ + α)$ $= \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (θ + α)$

を利用する．

■解答

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ $= \sqrt{{\sqrt{6}}^{2} + {\sqrt{2}}^{2}}$ $= \sqrt{{\sqrt{6}}^{2} + {\sqrt{2}}^{2}}$ $= 2 \sqrt{2}$ $= 2 \sqrt{2}$

より

$\sqrt{6} \sin θ + \sqrt{2} \cos θ$ $\sqrt{6} \sin θ + \sqrt{2} \cos θ$ $= 2 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{2}} \sin θ + \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} \cos θ)$ $= 2 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{2}} \sin θ + \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} \cos θ)$ $= 2 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} \sin θ + \frac{1}{2} \cos θ)$ $= 2 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} \sin θ + \frac{1}{2} \cos θ)$ ･･････(1)

と式を変形する．

三角関数の合成公式より

$\sqrt{6} \sin θ + \sqrt{2} \cos θ$ $\sqrt{6} \sin θ + \sqrt{2} \cos θ$ $= 2 \sqrt{2} \sin (θ + α)$ $= 2 \sqrt{2} \sin (θ + α)$ ･･････(2)

の形に変形できる．(2)に加法定理を適用すると

$= 2 \sqrt{2} \sin (θ + α)$ $= 2 \sqrt{2} \sin (θ + α)$ $= 2 \sqrt{2} (\sin θ \cos α + \cos θ \sin α)$ $= 2 \sqrt{2} (\sin θ \cos α + \cos θ \sin α)$ ･･････(3)

となる．

(1)と(3)を比較すると

$\{\begin{array}{l} \cos α = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin α = \frac{1}{2} \end{array}$ $\{\begin{array}{l} \cos α = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin α = \frac{1}{2} \end{array}$

となる連立方程式が得られる．これを解く．

$\cos α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\cos α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より， $α = - \frac{π}{6}, \frac{π}{6}$ $α = - \frac{π}{6}, \frac{π}{6}$ 　･･････(4)　(計算はここを参照)

$\sin α = \frac{1}{2}$ $\sin α = \frac{1}{2}$ より， $α = \frac{π}{6}, \frac{5}{6} π$ $α = \frac{π}{6}, \frac{5}{6} π$ 　･･････(5)　(計算はここを参照)

(4)，(5)より

$α = \frac{π}{6}$ $α = \frac{π}{6}$

となる．したがって

$\sqrt{6} \sin θ + \sqrt{2} \cos θ$ $\sqrt{6} \sin θ + \sqrt{2} \cos θ$ $= 2 \sqrt{2} (\cos \frac{π}{6} \sin θ + \sin \frac{π}{6} \cos θ)$ $= 2 \sqrt{2} (\cos \frac{π}{6} \sin θ + \sin \frac{π}{6} \cos θ)$ $= 2 \sqrt{2} \sin (θ + \frac{π}{6})$ $= 2 \sqrt{2} \sin (θ + \frac{π}{6})$

となる．

●作図より求める方法

座標平面上に， $\sin$ $\sin$ の係数 $1$ $1$ を $x$ $x$ 成分， $\cos$ $\cos$ の係数 $- 1$ $- 1$ を $y$ $y$ 成分とする点 $P$ $P$ と原点 $O$ $O$ を結ぶ線分 $OP$ $OP$ を描く．線分 $OP$ $OP$ の長さが $r$ $r$ ，線分 $OP$ $OP$ と $x$ $x$ 軸となす角が角度 $α$ $α$ となる．

よって

$r = 2 \sqrt{2}$ $r = 2 \sqrt{2}$ ， $α = \frac{π}{6}$ $α = \frac{π}{6}$

$\sqrt{6} \sin θ + \sqrt{2} \cos θ$ $\sqrt{6} \sin θ + \sqrt{2} \cos θ$ $= 2 \sqrt{2} \sin (θ + \frac{π}{6})$ $= 2 \sqrt{2} \sin (θ + \frac{π}{6})$

となる．

■グラフ

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2025年3月12日