問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

加法定理の問題

■問題

${\displaystyle 0^{°}\leqq \theta <{360}^{°}}$ のとき，次の不等式を解きなさい．

${\displaystyle \cos 2\theta -2\cos \theta \leqq \frac{1}{2}}$

■答

${\displaystyle 0^{°}\leqq \theta \leqq {120}^{°}}$ ， ${\displaystyle {240}^{°}\leqq \theta <{360}^{°}}$

■ヒント

2倍角の公式を使い式を用いて与式を ${\displaystyle \cos \theta }$ に関する不等式にする．

■解説

不等式を整理すると

${\displaystyle \left(2{cos}^2\theta -1\right)-2cos\theta \leqq \frac{1}{2}}$

${\displaystyle 2\left(2{\cos }^2\theta -1-2\cos \theta \right)\leqq 1}$

${\displaystyle 4{cos}^2\theta -2-4cos\theta \leqq 1}$

${\displaystyle 4{cos}^2\theta -4cos\theta -3\leqq 0}$

${\displaystyle \left(2cos\theta +1\right)\left(2cos\theta -3\right)\leqq 0}$

${\displaystyle 2cos\theta -3<0}$ であるから， ${\displaystyle 2cos\theta +1\geqq 0}$ ，ゆえに

${\displaystyle cos\theta \geqq -\frac{1}{2}}$

${\displaystyle 0^{°}\leqq \theta <{360}^{°}}$ より

${\displaystyle 0^{°}\leqq \theta \leqq {120}^{°}}$ と ${\displaystyle {240}^{°}\leqq \theta <{360}^{°}}$

■グラフ

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最終更新日： 2025年3月4日

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