問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

三角関数の方程式に関する問題

■問 題

次の方程式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$   とする．

${\displaystyle cos\theta =\frac{1}{\sqrt{2}}}$

■答

${\displaystyle \theta =\frac{1}{4}\pi ,\frac{7}{4}\pi }$

■解説

${\displaystyle \cos \theta }$   の値は 単位円 上の点の ${\displaystyle x}$   座標に相当する( ここ を参照)．

まず，右図のように 単位円 を描く．このとき，原点を${\displaystyle \text{O}}$ とする．

${\displaystyle y}$軸と平行な線である ${\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}}$ を描く．

描いた線と単位円との交点を${\displaystyle \text{P}}$ ，${\displaystyle \text{Q}}$ とし，原点${\displaystyle \text{O}}$ と線で結ぶ．

${\displaystyle \text{P}}$ ，${\displaystyle \text{Q}}$ から${\displaystyle y}$軸に垂線を下ろし，それぞれの足を${\displaystyle \text{R}}$ ，${\displaystyle \text{S}}$ とし，直角三角形${\displaystyle \text{OPR}}$ ，直角三角形${\displaystyle \text{OQS}}$ の内角を求める．

${\displaystyle \text{OP}=1}$，${\displaystyle \text{PR}=\frac{1}{\sqrt{2}}}$より，基本的な三角形 と照らし合わせると

${\displaystyle \angle \text{POR}=\frac{1}{4}\pi }$

となる．

直角三角形${\displaystyle \text{OPR}}$ ${\displaystyle \equiv }$ 直角三角形${\displaystyle \text{OQS}}$

より

${\displaystyle \angle \text{QOS}=\angle \text{POR}=\frac{1}{4}\pi }$

よって，${\displaystyle {\theta }_1}$，${\displaystyle {\theta }_2}$を算出すと

${\displaystyle {\theta }_1=\frac{1}{2}\pi -\frac{1}{4}\pi =\frac{1}{4}\pi }$，${\displaystyle {\theta }_2=\frac{3}{2}\pi +\frac{1}{4}\pi =\frac{7}{4}\pi }$  

となる．

　

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最終更新日： 2023年4月12日

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