加法定理・合成関数に関する問題

■問題

次式を $r \sin (θ + α)$ $r \sin (θ + α)$ $[r > 0, - π < α ≦ π]$ $[r > 0, - π < α ≦ π]$ の形に変形しなさい．

$\sqrt{2} \sin θ - \sqrt{2} \cos θ$ $\sqrt{2} \sin θ - \sqrt{2} \cos θ$

■解説動画

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■答

$2 \sin (θ - \frac{1}{4} π)$ $2 \sin (θ - \frac{1}{4} π)$

■ヒント

(1)合成した時の係数 $r$ $r$ を求める．

(2)合成関数の公式を使い解を導きだす．

■解き方

$r = \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(- \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{2 + 2} = 2$ $r = \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(- \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{2 + 2} = 2$

より

$\sqrt{2} sin θ - \sqrt{2} cos θ$ $\sqrt{2} sin θ - \sqrt{2} cos θ$ $= 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} \sin θ - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos θ)$ $= 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} \sin θ - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos θ)$ ･･････(1)

と式を変形する．

三角関数の合成の公式より

$\sqrt{2} \sin θ - \sqrt{2} \cos θ$ $\sqrt{2} \sin θ - \sqrt{2} \cos θ$ $= 2 \sin (θ + α)$ $= 2 \sin (θ + α)$ ･･････(2)

の形に変形できる．(2)に加法定理を適用すると

$= 2 \sin (θ + α)$ $= 2 \sin (θ + α)$ $= 2 (\sin θ \cos α + \cos θ \sin α)$ $= 2 (\sin θ \cos α + \cos θ \sin α)$ ･･････(3)

となる．

(1)と(3)を比較すると

$\{\begin{array}{l} \cos α = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin α = - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$ $\{\begin{array}{l} \cos α = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin α = - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

となる連立方程式が得られる．これを解くと(図参照)

$α = - \frac{1}{4} π$ $α = - \frac{1}{4} π$

となる．したがって

$\sqrt{2} \sin θ - \sqrt{2} \cos θ$ $\sqrt{2} \sin θ - \sqrt{2} \cos θ$ $= 2 \sin (θ - \frac{1}{4} π)$ $= 2 \sin (θ - \frac{1}{4} π)$

となる．

●作図より求める方法

座標平面上に， $\sin$ $\sin$ の係数 $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ を $x$ $x$ 成分， $\cos$ $\cos$ の係数 $- \sqrt{2}$ $- \sqrt{2}$ を $y$ $y$ 成分とする点 $P$ $P$ と原点 $O$ $O$ を結ぶ線分 $OP$ $OP$ を描く．線分 $OP$ $OP$ の長さが $r$ $r$ ，線分 $OP$ $OP$ と $x$ $x$ 軸となす角が角度 $α$ $α$ となる．

よって

$r = 2$ $r = 2$ ， $α = - \frac{π}{4}$ $α = - \frac{π}{4}$

$\sqrt{2} \sin θ - \sqrt{2} \cos θ$ $\sqrt{2} \sin θ - \sqrt{2} \cos θ$ $= 2 \sin (θ - \frac{1}{4} π)$ $= 2 \sin (θ - \frac{1}{4} π)$

となる．

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最終更新日： 2025年3月12日

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●作図より求める方法

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