問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

加法定理の問題

■問題

加法定理を利用し，以下に示す式の値を求めよ．

${\displaystyle sin{15}^{°}}$

■答

${\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$ 　

■ヒント

${\displaystyle {15}^{°}={45}^{°}-{30}^{°}}$ と考えて 加法定理を使って計算する．

■解き方

加法定理を使って解くと

${\displaystyle sin{15}^{°}}$${\displaystyle =sin\left({45}^{°}-{30}^{°}\right)}$

${\displaystyle =sin{45}^{°}cos{30}^{°}-cos{45}^{°}sin{30}^{°}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{2}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$

●別解

半角の公式を使って解くと

${\displaystyle \sin 15°=\sin \frac{30°}{2}}$

より

${\displaystyle {\left(\sin \frac{30°}{2}\right)}^2}$${\displaystyle =\frac{1-\cos 30°}{2}}$

${\displaystyle =\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

${\displaystyle =\frac{2-\sqrt{3}}{4}}$

よって，${\displaystyle \sin 15°>0}$に注意すると

${\displaystyle \sin 15°}$${\displaystyle =\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}}$

2重根号を外すために以下のように計算を進める．2重根号のはずし方を参照

$\sqrt{3}$ のところが $2\sqrt{3}$ になるように， $\frac{2-\sqrt{3}}{4}$ の分母，分子に $2$ を掛ける

${\displaystyle =\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{8}}}$

${\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2=a+b-2\sqrt{ab}$ より， $a+b=4$ ， $ab=3$ ， $a>b$ となる $a$ ， $b$ を求めると， $a=3$ ， $b=1$ となる．よって

${\displaystyle =\sqrt{\frac{{\left(\sqrt{3}-\sqrt{1}\right)}^2}{8}}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{2\sqrt{2}}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$

　

ホーム>>カテゴリー分類>>三角関数>>三角関数の問題>>加法定理>>加法定理の問題

最終更新日： 2024年11月22日

[ページトップ]

利用規約

google translate (English version)