加法定理の問題

■問題

加法定理を利用し，以下に示す式の値を求めよ．

$sin 15^{\circ}$ $sin 15^{°}$

■解説動画

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■答

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

■ヒント

$15^{\circ} = 45^{\circ} - 30^{\circ}$ $15^{°} = 45^{°} - 30^{°}$ と考えて加法定理を使って計算する．

■解き方

加法定理を使って解くと

$sin 15^{\circ}$ $sin 15^{°}$ $= sin (45^{\circ} - 30^{\circ})$ $= sin (45^{°} - 30^{°})$

$= sin 45^{\circ} cos 30^{\circ} - cos 45^{\circ} sin 30^{\circ}$ $= sin 45^{°} cos 30^{°} - cos 45^{°} sin 30^{°}$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2}$ $= \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2}$

$= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ $= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

●別解

半角の公式を使って解くと

$sin 15 ° = sin \frac{30 °}{2}$ $\sin 15 ° = \sin \frac{30 °}{2}$

より

${(sin \frac{30 °}{2})}^{2}$ ${(\sin \frac{30 °}{2})}^{2}$ $= \frac{1 - cos 30 °}{2}$ $= \frac{1 - \cos 30 °}{2}$

$= \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$ $= \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$

$= \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$ $= \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

よって， $sin 15 ° > 0$ $\sin 15 ° > 0$ に注意すると

$sin 15 °$ $\sin 15 °$ $= \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ $= \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$

2重根号を外すために以下のように計算を進める．2重根号のはずし方を参照

$\sqrt{3}$ $\sqrt{3}$ のところが $2 \sqrt{3}$ $2 \sqrt{3}$ になるように， $\frac{2 - \sqrt{3}}{4}$ $\frac{2 - \sqrt{3}}{4}$ の分母，分子に $2$ $2$ を掛ける

$= \sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{8}}$ $= \sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{8}}$

${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} = a + b - 2 \sqrt{a b}$ ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} = a + b - 2 \sqrt{a b}$ より， $a + b = 4$ $a + b = 4$ ， $a b = 3$ $a b = 3$ ， $a > b$ $a > b$ となる $a$ $a$ ， $b$ $b$ を求めると， $a = 3$ $a = 3$ ， $b = 1$ $b = 1$ となる．よって

$= \sqrt{\frac{{(\sqrt{3} - \sqrt{1})}^{2}}{8}}$ $= \sqrt{\frac{{(\sqrt{3} - \sqrt{1})}^{2}}{8}}$

$= \frac{\sqrt{3} - \sqrt{1}}{2 \sqrt{2}}$ $= \frac{\sqrt{3} - \sqrt{1}}{2 \sqrt{2}}$

$= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ $= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

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最終更新日： 2025年2月5日