三角関数の最大値・最小値問題

■問題

$0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ における $\sin θ + \sqrt{3} \cos θ$ の最大値と最小値を求めよ．

■答

最大値： $2$ ，最小値： $1$

■ヒント

$\sin θ + \sqrt{3} \cos θ$ を $\sin$ で合成する．

■解き方

$\sin θ + \sqrt{3} \cos θ$ を $\sin$ で合成する．

$\sin θ + \sqrt{3} \cos θ$ $= \sqrt{1^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}} (\sin θ \cdot \frac{1}{\sqrt{1^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}}} + \cos θ \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}}})$

$= 2 (\sin θ \cdot \frac{1}{2} + \cos θ \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$

$= 2 (\sin θ \cos \frac{π}{3} + \cos θ \cdot \sin \frac{π}{3})$

$= 2 \sin (θ + \frac{π}{3})$

$y = 2 \sin (θ + \frac{π}{3})$ のグラフを描くと，以下のようになる．

$2 \sin (θ + \frac{π}{3})$ が最大となるのは

$\sin (θ + \frac{π}{3}) = 1$ ，すなわち， $θ + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}$ ， $θ = \frac{π}{2} - \frac{π}{3} = \frac{π}{6}$

のときで，その値は $2$ になる．

最小値は， $θ$ の範囲に注意すると， $θ = \frac{π}{2}$ のとき，その値は

$2 \sin (\frac{π}{2} + \frac{π}{3}) = 2 \sin \frac{5 π}{6}$ $= 2 \cdot \frac{1}{2}$ $= 1$

●備考

この問題に対応する作図は以下のようになる．

参考ページ：三角関数の合成公式，ベクトルを用いた三角関数の合成公式の導出

点 $P$ の $y$ 座標の値が $\sin θ + \sqrt{3} \cos θ$ の値に対応する．

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最終更新日： 2026年10月8日