三角関数不等式の問題

■問題

次の不等式を解け．ただし， $\frac{π}{2} ≦ θ ≦ 2 π$ とする．

$- 1 ≦ 2 \cos θ ≦ \sqrt{2}$

$\frac{1}{2} π ≦ θ ≦ \frac{2}{3} π$ ， $\frac{4}{3} π ≦ θ ≦ \frac{7}{4} π$

まず， $0 ≦ θ < 2 π$ の範囲で

$\cos θ = - \frac{1}{2}$ ， $\cos θ = \frac{1}{\sqrt{2}}$

を満たす $θ$ を求める．

以下の問題を参考にする．

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$\cos θ = - \frac{1}{2}$ ⇒ 解

$θ = \frac{3}{4} π, \frac{5}{4} π$

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$\cos θ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ⇒ 解

$θ = \frac{1}{4} π, \frac{7}{4} π$

$\cos θ$ は単位円上の点の $x$ 成分に相当することを考慮して，与式の不等式を満たす単位円上の円弧の範囲を赤線で示す．

$\frac{π}{2} ≦ θ ≦ 2 π$ と赤色の円弧の部分が重なっている部分が答えとなる．よって，答えは

$\frac{1}{2} π ≦ θ ≦ \frac{2}{3} π$ ， $\frac{4}{3} π ≦ θ ≦ \frac{7}{4} π$

となる．

最終更新日： 2025年9月10日