三角関数不等式の問題

■問題

次の不等式を解け．ただし， $0 ≦ θ < \frac{π}{3}$ とする．

$\cos 2 θ < \frac{1}{2}$

$\frac{π}{6} < θ < \frac{π}{3}$

$2 θ = t$ ･･････(1)

とおくと

$0 ≦ θ < \frac{π}{3}$

$0 ≦ 2 θ < \frac{2}{3} π$

より

$0 ≦ t < \frac{2}{3} π$

となる．

問題を $t$ を使って書き直すと

次の不等式を解け．ただし， $0 ≦ t < \frac{2}{3} π$ とする．

$\cos t < \frac{1}{2}$

まず， $0 ≦ t < 2 π$ の範囲で

$\cos t = \frac{1}{2}$

を満たす $t$ を求める．

以下の問題を参考にする．

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$\cos θ = \frac{1}{2}$ ⇒ 解

$t = \frac{1}{3} π, \frac{5}{3} π$

$\cos t$ は単位円上の点の $x$ 成分に相当することを考慮して， $t$ を用いて書き直した不等式 $\cos t < \frac{1}{2}$ を満たす単位円上の円弧の範囲を赤線で示す．

$0 ≦ t < \frac{2}{3} π$ と赤色の円弧の部分が重なっている部分が $t$ を用いて書き直した問題の答えとなる．その答えは

$\frac{π}{3} < t < \frac{2}{3} π$ ･･････(2)

となる．(1)の関係から(2)を $θ$ の範囲に書き換えると

$\frac{π}{3} < 2 θ < \frac{2}{3} π$

$\frac{π}{6} < θ < \frac{π}{3}$

となる．

最終更新日： 2025年2月20日