三角関数不等式の問題

■問題

次の不等式を解け．ただし， $0 ≦ θ < \frac{π}{3}$ $0 ≦ θ < \frac{π}{3}$ とする．

$2 \sin (3 θ + \frac{π}{4}) < 1$ $2 \sin (3 θ + \frac{π}{4}) < 1$

■解説動画

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■答

$\frac{7}{36} π < θ < \frac{π}{3}$ $\frac{7}{36} π < θ < \frac{π}{3}$

■解説

$3 θ + \frac{π}{4} = t$ $3 θ + \frac{π}{4} = t$ ･･････(1)

とおくと

$0 ≦ θ < \frac{π}{3}$ $0 ≦ θ < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{4} ≦ 3 θ + \frac{π}{4} < \frac{5}{4} π$ $\frac{π}{4} ≦ 3 θ + \frac{π}{4} < \frac{5}{4} π$

より

$\frac{π}{4} ≦ t < \frac{5}{4} π$ $\frac{π}{4} ≦ t < \frac{5}{4} π$

となる．

問題を $t$ $t$ を使って書き直すと

次の不等式を解け．ただし， $\frac{π}{4} ≦ t < \frac{5}{4} π$ $\frac{π}{4} ≦ t < \frac{5}{4} π$ とする．

$2 \sin t < 1$ $2 \sin t < 1$ → $\sin t < \frac{1}{2}$ $\sin t < \frac{1}{2}$

まず， $0 ≦ t < 2 π$ $0 ≦ t < 2 π$ の範囲で

$\sin t = \frac{1}{2}$ $\sin t = \frac{1}{2}$

を満たす $t$ $t$ を求める．

以下の問題を参考にする．

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$\sin θ = \frac{1}{2}$ $\sin θ = \frac{1}{2}$ ⇒ 解

$t = \frac{1}{6} π, \frac{5}{6} π$ $t = \frac{1}{6} π, \frac{5}{6} π$

$\sin t$ $\sin t$ は単位円上の点の $y$ $y$ 成分に相当することを考慮して， $t$ $t$ を用いて書き直した不等式 $\sin t < \frac{1}{2}$ $\sin t < \frac{1}{2}$ を満たす単位円上の円弧の範囲を赤線で示す．

$\frac{π}{4} ≦ t < \frac{5}{4} π$ $\frac{π}{4} ≦ t < \frac{5}{4} π$ と赤色の円弧の部分が重なっている部分が $t$ $t$ を用いて書き直した問題の答えとなる．その答えは

$\frac{5}{6} π < t < \frac{5}{4} π$ $\frac{5}{6} π < t < \frac{5}{4} π$ ･･････(2)

となる．(1)の関係から(2)を $θ$ $θ$ の範囲に書き換えると

$\frac{5}{6} π < 3 θ + \frac{π}{4} < \frac{5}{4} π$ $\frac{5}{6} π < 3 θ + \frac{π}{4} < \frac{5}{4} π$

$\frac{5}{6} π - \frac{π}{4} < 3 θ + \frac{π}{4} < \frac{5}{4} π - \frac{π}{4}$ $\frac{5}{6} π - \frac{π}{4} < 3 θ + \frac{π}{4} < \frac{5}{4} π - \frac{π}{4}$

$\frac{7}{12} π < 3 θ < π$ $\frac{7}{12} π < 3 θ < π$

$\frac{7}{36} π < θ < \frac{π}{3}$ $\frac{7}{36} π < θ < \frac{π}{3}$

となる．

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最終更新日： 2025年2月20日

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