三角関数不等式の問題

■問題

次の不等式を解け．ただし， $0 ≦ θ < \frac{π}{2}$ とする．

$0 < \sqrt{2} \cos 3 (θ - \frac{π}{3}) < 1$

$\frac{1}{6} π < θ < \frac{1}{4} π$ ， $\frac{5}{12} π < θ < \frac{1}{2} π$

$3 (θ - \frac{π}{3}) = t$ ･･････(1)

とおくと

$0 ≦ θ < \frac{π}{2}$

$- \frac{π}{3} ≦ θ - \frac{π}{3} < \frac{π}{6}$

$- π ≦ 3 (θ - \frac{π}{3}) < \frac{π}{2}$

より

$- π ≦ t < \frac{π}{2}$

となる．

問題を $t$ を使って書き直すと

次の不等式を解け．ただし， $- π ≦ t < \frac{π}{2}$ とする．

$0 < \sqrt{2} \cos t < 1$ → $0 < \cos t < \frac{1}{\sqrt{2}}$

まず， $0 ≦ t < 2 π$ の範囲で

$\cos t = 0$ ， $\cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}$

を満たす $t$ を求める．

以下の問題を参考にする．

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$\cos θ = 0$ ⇒ 解

$t = \frac{1}{2} π, \frac{3}{2} π$

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$\cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ⇒ 解

$t = \frac{1}{4} π, \frac{7}{4} π$

$\cos t$ は単位円上の点の $x$ 成分に相当することを考慮して， $t$ を用いて書き直した不等式 $0 < \cos t < \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす単位円上の円弧の範囲を赤線で示す．

$\frac{π}{4} ≦ t < \frac{5}{4} π$ と赤色の円弧の部分が重なっている部分が $t$ を用いて書き直した問題の答えとなる．その答えは

$- \frac{1}{2} π < t < - \frac{1}{4} π$ ， $\frac{1}{4} π < t < \frac{1}{2} π$ ･･････(2)

となる．(1)の関係から(2)を $θ$ の範囲に書き換えると

$- \frac{1}{2} π < t < - \frac{1}{4} π$ より

$- \frac{1}{2} π < 3 (θ - \frac{π}{3}) < - \frac{1}{4} π$

$- \frac{1}{6} π < θ - \frac{π}{3} < - \frac{1}{12} π$

$- \frac{1}{6} π + \frac{π}{3} < θ < - \frac{1}{12} π + \frac{π}{3}$

$\frac{1}{6} π < θ < \frac{1}{4} π$

$\frac{1}{4} π < t < \frac{1}{2} π$ より

$\frac{1}{4} π < 3 (θ - \frac{π}{3}) < \frac{1}{2} π$

$\frac{1}{12} π < θ - \frac{π}{3} < \frac{1}{6} π$

$\frac{1}{12} π + \frac{π}{3} < θ < \frac{1}{6} π + \frac{π}{3}$

$\frac{5}{12} π < θ < \frac{1}{2} π$

整理すると

$\frac{1}{6} π < θ < \frac{1}{4} π$ ， $\frac{5}{12} π < θ < \frac{1}{2} π$

となる．

最終更新日： 2025年2月20日