三角関数の方程式に関する問題

■問題

[　]内に示す範囲で，以下に示す方程式を解け．

$2 \sin \frac{1}{2} (θ + \frac{π}{2}) = 1$ $2 \sin \frac{1}{2} (θ + \frac{π}{2}) = 1$ $[0 ≦ θ < 2 π]$ $[0 ≦ θ < 2 π]$

$\frac{7}{6} π$ $\frac{7}{6} π$

$\frac{1}{2} (θ + \frac{π}{2}) = α$ $\frac{1}{2} (θ + \frac{π}{2}) = α$ ･･････(1)

とおくと，与式は

$2 \sin α = 1$ $2 \sin α = 1$

$\sin α = \frac{1}{2}$ $\sin α = \frac{1}{2}$ ･･････(2)

となる．

(1)の関係と $θ$ $θ$ の範囲から， $α$ $α$ の範囲を求める．

$0 ≦ θ < 2 π$ $0 ≦ θ < 2 π$

$\frac{π}{2} ≦ θ + \frac{π}{2} < \frac{5}{2} π$ $\frac{π}{2} ≦ θ + \frac{π}{2} < \frac{5}{2} π$

$\frac{π}{4} ≦ \frac{1}{2} (θ + \frac{π}{2}) < \frac{5}{4} π$ $\frac{π}{4} ≦ \frac{1}{2} (θ + \frac{π}{2}) < \frac{5}{4} π$

よって， $α$ $α$ の範囲は

$\frac{π}{4} ≦ α < \frac{5}{4} π$ $\frac{π}{4} ≦ α < \frac{5}{4} π$ ･･････(3)

となる．

(2)を満たす $α$ $α$ を求める(図の $α_{1}$ $α_{1}$ ， $α_{2}$ $α_{2}$ の値)．

以下の問題を参考にする.

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$\sin θ = \frac{1}{2}$ $\sin θ = \frac{1}{2}$ ⇒ 解

$α_{1} = \frac{π}{6}, α_{2} = \frac{5}{6} π$ $α_{1} = \frac{π}{6}, α_{2} = \frac{5}{6} π$

(3)より $α_{1}$ $α_{1}$ は範囲外であり，(1)より $θ = 2 α - \frac{π}{2}$ $θ = 2 α - \frac{π}{2}$ なので，求める角 $θ$ $θ$ は

$θ = 2 \times \frac{5}{6} π - \frac{π}{2} = \frac{7}{6} π$ $θ = 2 \times \frac{5}{6} π - \frac{π}{2} = \frac{7}{6} π$

となる．

学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年2月12日