三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$\sqrt{2} \cos^{2} θ - (\sqrt{2} + 1) \cos θ + 1 = 0$ $\sqrt{2} \cos^{2} θ - (\sqrt{2} + 1) \cos θ + 1 = 0$

$\frac{1}{4} π, \frac{7}{4} π, 0$ $\frac{1}{4} π, \frac{7}{4} π, 0$

$\cos θ = t$ $\cos θ = t$ とおくと式は次のような2次方程式になる．

$\sqrt{2} t^{2} - (\sqrt{2} + 1) t + 1 = 0$ $\sqrt{2} t^{2} - (\sqrt{2} + 1) t + 1 = 0$ 　･･････(1)

これを因数分解すると次のようになる．

$(\sqrt{2} t - 1) (t - 1) = 0$ $(\sqrt{2} t - 1) (t - 1) = 0$ 　･･････(2)

(2)の方程式より

$\sqrt{2} t = 1$ $\sqrt{2} t = 1$ ， $t = 1$ $t = 1$

が得られる． $t$ $t$ を元に戻すと

$\sqrt{2} \cos θ = 1$ $\sqrt{2} \cos θ = 1$ ， $\cos θ = 1$ $\cos θ = 1$

となる.この2つの方程式を解く

$\sqrt{2} \cos θ = 1$ $\sqrt{2} \cos θ = 1$ ， $\cos θ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $\cos θ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 　⇒ 解

$\cos θ = 1$ $\cos θ = 1$ 　⇒ 解

よって

$\cos θ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $\cos θ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき

$\frac{1}{4} π, \frac{7}{4} π$ $\frac{1}{4} π, \frac{7}{4} π$

$\cos θ = 1$ $\cos θ = 1$ のとき

$0$ $0$

最終更新日： 2025年2月8日