三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$2 sin (θ + \frac{1}{3} π) = 1$ $2 \sin (θ + \frac{1}{3} π) = 1$

$θ = \frac{1}{2} π, \frac{11}{6} π$ $θ = \frac{1}{2} π, \frac{11}{6} π$

$θ + \frac{1}{3} π$ $θ + \frac{1}{3} π$ を $t$ $t$ と置き換えて計算を行う．

$θ + \frac{1}{3} π = t$ $θ + \frac{1}{3} π = t$ ･･････(1)

と置くと，与式は

$2 sin t = 1$ $2 \sin t = 1$

$sin t = \frac{1}{2}$ $\sin t = \frac{1}{2}$ ･･････(2)

となる．

(1)より， $t$ $t$ の範囲を求める．

$0 ≦ θ < 2 π$ $0 ≦ θ < 2 π$

$0 + \frac{1}{3} π ≦ θ + \frac{1}{3} π < 2 π + \frac{1}{3} π$ $0 + \frac{1}{3} π ≦ θ + \frac{1}{3} π < 2 π + \frac{1}{3} π$

$\frac{1}{3} π ≦ θ + \frac{1}{3} π < \frac{7}{3} π$ $\frac{1}{3} π ≦ θ + \frac{1}{3} π < \frac{7}{3} π$

$\frac{1}{3} π ≦ t < \frac{7}{3} π$ $\frac{1}{3} π ≦ t < \frac{7}{3} π$

$t$ $t$ の範囲で(2)を解く．

以下の問題を参考にする.

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$sin t = \frac{1}{2}$ $\sin t = \frac{1}{2}$ ⇒ 解

$t$ $t$ は

$t = \frac{5}{6} π, \frac{1}{6} π + 2 π$ $t = \frac{5}{6} π, \frac{1}{6} π + 2 π$

$t = \frac{5}{6} π, \frac{13}{6} π$ $t = \frac{5}{6} π, \frac{13}{6} π$

$t$ $t$ を $θ$ $θ$ に戻す．

$θ + \frac{1}{3} π = \frac{5}{6} π, \frac{13}{6} π$ $θ + \frac{1}{3} π = \frac{5}{6} π, \frac{13}{6} π$

$θ = \frac{1}{2} π, \frac{11}{6} π$ $θ = \frac{1}{2} π, \frac{11}{6} π$

最終更新日： 2025年3月1日