三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式の最大値と最小値を求めよ．ただし， $0 ≦ θ ≦ \frac{1}{3} π$ とする．

$y = \sin (θ + \frac{1}{6} π)$

$θ = 0$ のとき最小値 $\frac{1}{2}$

$θ = \frac{1}{3} π$ のとき最大値 $1$

$θ + \frac{1}{6} π$ を $t$ と置き換えて計算を行う．

$θ + \frac{1}{6} π = t$ 　･･････(1)

とおくと，与式は

$y = sin t$ 　･･････(2)

となる．

(1)の関係と $θ$ の範囲から， $t$ の範囲を求める．

$0 ≦ θ ≦ \frac{1}{3} π$

$\frac{1}{6} π ≦ θ + \frac{1}{6} π ≦ \frac{1}{3} π + \frac{1}{6} π$

$\frac{1}{6} π ≦ t ≦ \frac{1}{2} π$ 　･･････(3)

$sin t$ は単位円上の点の $y$ 成分に相当するので図より， $y = sin t$ は(3)の範囲において

$t = \frac{1}{6} π$ のとき最小

$t = \frac{1}{2} π$ のとき最大

となる．(1)の関係と $t$ の値から対応する $θ$ の値を求めて上記を書き換えると

$y = \sin (θ + \frac{1}{6} π)$ は $0 ≦ θ ≦ \frac{1}{3} π$ において

$θ + \frac{1}{6} π = \frac{1}{6} π$ ⇒ $θ = 0$ のとき最小

$(θ + \frac{1}{6} π) = \frac{1}{2} π$ ⇒ $θ = \frac{1}{3} π$ のとき最大

以上より， $y = \sin (θ + \frac{1}{6} π)$ の

最小値は $θ = 0$ のとき $\frac{1}{2}$

最大値は $θ = \frac{1}{3} π$ のとき $1$

となる．

学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年4月12日