問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

三角関数の最大値・最小値に関する問題

■問題

次の関数の最大値と最小値を求めよ．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta \leqq \frac{1}{4}\pi }$ とする．

${\displaystyle y=3\cos \left(2\theta +\frac{1}{3}\pi \right)}$

■動画解説

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■答

${\displaystyle \theta =\frac{1}{4}\pi }$ のとき，最小値  ${\displaystyle -\frac{3\sqrt{3}}{2}}$

${\displaystyle \theta =0}$ のとき，最大値  ${\displaystyle \frac{3}{2}}$

■ヒント

${\displaystyle 2\theta +\frac{1}{3}\pi }$ を ${\displaystyle t}$ と置き換えて計算を行う．

■解説

${\displaystyle 2\theta +\frac{1}{3}\pi =t}$ ･･････(1)

とおくと，与式は

${\displaystyle y=3cost}$ ･･････(2)

となる．

(1)の関係と ${\displaystyle \theta }$ の範囲から， ${\displaystyle t}$ の範囲を求める．

${\displaystyle 0\leqq \theta \leqq \frac{1}{4}\pi }$

${\displaystyle 0\leqq 2\theta \leqq \frac{1}{2}\pi }$

${\displaystyle \frac{1}{3}\pi \leqq 2\theta +\frac{1}{3}\pi \leqq \frac{1}{2}\pi +\frac{1}{3}\pi }$

${\displaystyle \frac{1}{3}\pi \leqq t\leqq \frac{5}{6}\pi }$ ･･････(3)

${\displaystyle cost}$ は単位円上の点の ${\displaystyle X}$ 成分に相当するので，図より ${\displaystyle cost}$ は(3)の範囲において

${\displaystyle t=\frac{5}{6}\pi }$  のとき最小

${\displaystyle t=\frac{1}{3}\pi }$   のとき最大

となる．(1)の関係と ${\displaystyle t}$ の値から対応する ${\displaystyle \theta }$ の値を求めて上記を書き換えると

${\displaystyle \cos \left(2\theta ++\frac{1}{3}\pi \right)}$ は ${\displaystyle 0\leqq \theta \leqq \frac{1}{4}\pi }$ において

${\displaystyle 2\theta +\frac{1}{3}\pi =\frac{5}{6}\pi }$  ⇒  ${\displaystyle \theta =\frac{1}{4}\pi }$ のとき最小

${\displaystyle 2\theta +\frac{1}{3}\pi =\frac{1}{3}\pi }$  ⇒  ${\displaystyle \theta =0}$ のとき最大

となる．

以上より， ${\displaystyle y=3\cos \left(2\theta +\frac{1}{3}\pi \right)}$ の

最小値は， ${\displaystyle \theta =\frac{1}{4}\pi }$ のとき

${\displaystyle y=3\cos \left(2\times \frac{1}{4}\pi +\frac{1}{3}\pi \right)}$ ${\displaystyle =3\cos \frac{5}{6}\pi }$ ${\displaystyle =3\times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$ ${\displaystyle =-\frac{3\sqrt{3}}{2}}$

最大値は， ${\displaystyle \theta =0}$ のとき

${\displaystyle y=3\cos \left(2\times 0+\frac{1}{3}\pi \right)}$ ${\displaystyle =3\cos \frac{1}{3}\pi }$ ${\displaystyle =3\times \frac{1}{2}}$ ${\displaystyle =\frac{3}{2}}$

●グラフを用いた解法

${\displaystyle y=3\cos \left(2\theta +\frac{1}{3}\pi \right)}$ のグラフを以下に示す．

◇グラフの描き方は，このページを参考にする

グラフより， ${\displaystyle y=3\cos \left(2\theta +\frac{1}{3}\pi \right)}$ の

最小値は， ${\displaystyle \theta =\frac{1}{4}\pi }$ のとき

${\displaystyle 3\cos \left(2\cdot \frac{1}{4}\pi +\frac{1}{3}\pi \right)}$ ${\displaystyle =3\cos \frac{5}{6}\pi }$ ${\displaystyle =3\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$ ${\displaystyle =-\frac{3\sqrt{3}}{2}}$

最大値は， ${\displaystyle \theta =0}$ のとき

${\displaystyle 3\cos \left(0+\frac{1}{3}\pi \right)=3\cos \frac{1}{3}\pi }$${\displaystyle =3\cdot \frac{1}{2}}$${\displaystyle =\frac{3}{2}}$

となる．

　

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最終更新日： 2025年2月17日

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