三角関数の最大値・最小値に関する問題

■問題

次の関数の最大値と最小値を求めよ．ただし， $0 ≦ θ ≦ 2 π$ $0 ≦ θ ≦ 2 π$ とする．

$y = {sin}^{2} θ - 2 cos θ + 1$ $y = {sin}^{2} θ - 2 cos θ + 1$

■動画解説

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■答

$θ = π$ $θ = π$ のとき，最大値 $3$ $3$

$θ = 0, 2 π$ $θ = 0, 2 π$ のとき，最小値 $- 1$ $- 1$

■ヒント

公式 ${sin}^{2} θ + {cos}^{2} θ = 1$ ${sin}^{2} θ + {cos}^{2} θ = 1$ を利用して， $cos θ$ $cos θ$ に統一する．

$cos θ$ $cos θ$ を $t$ $t$ と置き換えて計算を行う．

2次関数の最大と最小(範囲指定あり）を参照する．

増減表を用いて解くこともできる．

■解説

${sin}^{2} θ + {cos}^{2} θ = 1$ ${sin}^{2} θ + {cos}^{2} θ = 1$ より

$\sin^{2} θ = 1 - \cos^{2} θ$ $\sin^{2} θ = 1 - \cos^{2} θ$ ･･････(1)

与式に(1)を代入すると

$y = (1 - {cos}^{2} θ) - 2 cos θ + 1$ $y = (1 - {cos}^{2} θ) - 2 cos θ + 1$

$y = - {cos}^{2} θ - 2 cos θ + 2$ $y = - {cos}^{2} θ - 2 cos θ + 2$ ･･････(2)

となる． $\cos θ = t$ $\cos θ = t$ とおいて，(2)に代入する．

$y = - t^{2} - 2 t + 2$ $y = - t^{2} - 2 t + 2$ ･･････(3)

(3)の2次関数を平方完成する．

$y = - (t^{2} + 2 t) + 2$ $y = - (t^{2} + 2 t) + 2$

$y = - {(t + 1)}^{2} + 3$ $y = - {(t + 1)}^{2} + 3$

$t$ $t$ の範囲を求める．

$0 ≦ θ ≦ 2 π$ $0 ≦ θ ≦ 2 π$

$- 1 ≦ \cos θ ≦ 1$ $- 1 ≦ \cos θ ≦ 1$

$- 1 ≦ t ≦ 1$ $- 1 ≦ t ≦ 1$ ･･････(4)

図より， $y = - {(t + 1)}^{2} + 3$ $y = - {(t + 1)}^{2} + 3$ は

$t = - 1$ $t = - 1$ のとき最大値 $3$ $3$

$t = 1$ $t = 1$ のとき最小値 $- 1$ $- 1$

をとる．

$t$ $t$ に対応する $θ$ $θ$ を求める．

$cos θ = - 1$ $cos θ = - 1$ ⇒ $θ = π$ $θ = π$

$cos θ = 1$ $cos θ = 1$ ⇒ $θ = 0, 2 π$ $θ = 0, 2 π$

以上より， $y = {sin}^{2} θ - 2 cos θ + 1$ $y = {sin}^{2} θ - 2 cos θ + 1$ は

$θ = π$ $θ = π$ のとき，最大値 $3$ $3$

$θ = 0, 2 π$ $θ = 0, 2 π$ のとき，最小値 $- 1$ $- 1$

となる．

●増減表を用いる方法

$y^{'} = 2 \sin θ \cos θ + 2 \sin θ$ $y^{'} = 2 \sin θ \cos θ + 2 \sin θ$ $= 2 \sin θ (\cos θ + 1)$ $= 2 \sin θ (\cos θ + 1)$

$y^{'} = 0$ $y^{'} = 0$ となるのは

$\sin θ = 0$ $\sin θ = 0$ ，あるいは， $\cos θ + 1 = 0$ $\cos θ + 1 = 0$ ⇒ $\cos θ = - 1$ $\cos θ = - 1$

よって

$θ = 0, π, 2 π$ $θ = 0, π, 2 π$

$0 < θ < π$ $0 < θ < π$ のとき　

$\sin θ > 0$ $\sin θ > 0$ ， $\cos θ + 1 > 0$ $\cos θ + 1 > 0$

$π < θ < 2 π$ $π < θ < 2 π$ のとき

$\sin θ < 0$ $\sin θ < 0$ ， $\cos θ + 1 > 0$ $\cos θ + 1 > 0$

となる．したがって，増減表は　

$x$ $x$	$0$ $0$	$\dots$ $\dots$	$π$ $π$	$\dots$ $\dots$	$2 π$ $2 π$
$y^{'}$ $y^{'}$	$0$ $0$	$+$ $+$	$0$ $0$	$-$ $-$	$0$ $0$
$y$ $y$	$- 1$ $- 1$	$↗$ $↗$	$3$ $3$	$↘$ $↘$	$- 1$ $- 1$

となる.　

以上より， $y = {sin}^{2} θ - 2 cos θ + 1$ $y = {sin}^{2} θ - 2 cos θ + 1$ は

$θ = π$ $θ = π$ のとき，最大値 $3$ $3$

$θ = 0, 2 π$ $θ = 0, 2 π$ のとき，最小値 $- 1$ $- 1$

となる．

$y = {sin}^{2} θ - 2 cos θ + 1$ $y = {sin}^{2} θ - 2 cos θ + 1$ ｓのグラフを以下に示す．

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年2月17日

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