問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式の最大値と最小値を求めよ．ただし，${\displaystyle 0\leqq \theta \leqq 2\pi }$とする．

${\displaystyle y={sin}^2\theta -2cos\theta +1}$

■答

${\displaystyle \theta =2\pi }$のとき最大値 ${\displaystyle 3}$

${\displaystyle \theta =0}$のとき最小値 ${\displaystyle -1}$

■ヒント

公式 ${\displaystyle {sin}^2\theta +{cos}^2\theta =1}$ を利用して， ${\displaystyle cos\theta }$ に統一する．

${\displaystyle cos\theta }$

を${\displaystyle t}$ と置き換えて計算を行う．

■解説

${\displaystyle {sin}^2\theta +{cos}^2\theta =1}$より

${\displaystyle {\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta }$ ･･････(1)

与式に(1)を代入すると

${\displaystyle y=\left(1-{cos}^2\theta \right)-2cos\theta +1}$

${\displaystyle y=-{cos}^2\theta -2cos\theta +2}$ ･･････(2)

となる．${\displaystyle \cos \theta =t}$ とおいて，(2)に代入する．

${\displaystyle y=-t^2-2t+2}$ ･･････(3)

(3)の2次関数を平方完成する．

${\displaystyle y=-(t^2+2t)+2}$

${\displaystyle y=-{\left(t+1\right)}^2+3}$

${\displaystyle t}$ の範囲を求める．

${\displaystyle 0\leqq \theta \leqq 2\pi }$

${\displaystyle -1\leqq \cos \theta \leqq 1}$

${\displaystyle -1\leqq t\leqq 1}$ ･･････(4)

図より，${\displaystyle y=-{\left(t+1\right)}^2+3}$は

${\displaystyle t=-1}$のとき最大値 ${\displaystyle 3}$

${\displaystyle t=1}$のとき最小値 ${\displaystyle -1}$

をとる．

$t$ に対応する${\displaystyle \theta }$ を求める．

${\displaystyle cos\theta =-1}$ ⇒ ${\displaystyle \theta =2\pi }$

${\displaystyle cos\theta =1}$ ⇒ ${\displaystyle \theta =0}$

以上より，${\displaystyle y={sin}^2\theta -2cos\theta +1}$は

${\displaystyle \theta =2\pi }$のとき最大値 ${\displaystyle 3}$

${\displaystyle \theta =0}$のとき最小値 ${\displaystyle -1}$

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年4月12日

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