問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

三角関数の方程式に関する問題

■問題

[　]内に示す範囲で，以下に示す方程式を解け．

${\displaystyle 2cos\frac{1}{3}\theta =\sqrt{2}}$　${\displaystyle \left[\frac{\pi }{2}\leqq \theta <\pi \right]}$

■答

${\displaystyle \frac{3}{4}\pi }$

■解説

${\displaystyle \frac{1}{3}\theta =\alpha }$　･･････(1)

とおくと，与式は

${\displaystyle 2\cos \alpha =\sqrt{2}}$

${\displaystyle \cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}}$

${\displaystyle \cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}}$ 　･･････(2)

となる．

(1)の関係と${\displaystyle \theta }$ の範囲から，${\displaystyle \alpha }$ の範囲を求める．

${\displaystyle \frac{\pi }{2}\leqq \theta <\pi }$

${\displaystyle \frac{\pi }{6}\leqq \frac{1}{3}\theta <\frac{\pi }{3}}$

よって，${\displaystyle \alpha }$の範囲は

${\displaystyle \frac{\pi }{6}\leqq \alpha <\frac{\pi }{3}}$　･･････(3)

となる．

(2)を満たす${\displaystyle \alpha }$ を求める(図の${\displaystyle {\alpha }_1}$ ，${\displaystyle {\alpha }_2}$ の値)．

以下の問題を参考にする.

${\displaystyle {\alpha }_1=\frac{\pi }{4},{\alpha }_2=\frac{7}{4}\pi }$

(3)より${\displaystyle {\alpha }_2}$は範囲外であり，${\displaystyle \theta =3\alpha }$なので

求める角${\displaystyle \theta }$は，

${\displaystyle \theta =\frac{3}{4}\pi }$

となる．

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年4月12日

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