問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int \frac{3}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}dx}$ 　　

■答

${\displaystyle 2\left(x+1\right)\sqrt{x+1}+2x\sqrt{x}+C}$　　${\displaystyle C}$ は積分定数）

■ヒント

分母の有理化 より

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}\pm \sqrt{b}}}$${\displaystyle =\frac{1\times \left(\sqrt{a}\mp \sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}\pm \sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}\mp \sqrt{b}\right)}}$${\displaystyle =\frac{\sqrt{a}\mp \sqrt{b}}{a-b}}$ 　 　

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

方針より，${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}}$ の分母・分子に 　${\displaystyle \sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$ をかけ，有理化すると

${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}}$${\displaystyle =\frac{3\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}) }}$ 　　

${\displaystyle =\frac{3\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}{x+1-x}}$ 　　

${\displaystyle =3\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}$          ･･････${\displaystyle \left(\alpha \right)}$

となる．よって，${\displaystyle \left(\alpha \right)}$ を与式に代入して積分すると

与式${\displaystyle =\int 3\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)dx}$ 　

${\displaystyle =3\left(\int \sqrt{x+1}dx+\int \sqrt{x}dx\right)}$ 　　

（${\displaystyle 3}$ を積分記号${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =3\left(\int {\left(x+1\right)}^{\frac{1}{2}}dx+\int x^{\frac{1}{2}}dx\right)}$ 　　

（指数に関する定義を参照）

${\displaystyle =3\left(\frac{2}{3}{\left(x+1\right)}^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}\right)+C}$ 　　　 　　　

（ヒントの公式にあてはめる）

${\displaystyle =2\sqrt{{\left(x+1\right)}^3}+2\sqrt{x^3}+C}$ 　 　

${\displaystyle =2\left(x+1\right)\sqrt{x+1}+2x\sqrt{x}+C}$ 　　 　

　

■確認問題

求まった答え　${\displaystyle 2\left(x+1\right)\sqrt{x+1}+2x\sqrt{x}+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日

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