不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$\int \frac{3}{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}} d x$ 　　

■答

$2 (x + 1) \sqrt{x + 1} + 2 x \sqrt{x} + C$ 　　 $C$ は積分定数）

■ヒント

$\frac{1}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}$ $= \frac{1 \times (\sqrt{a} \mp \sqrt{b})}{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b}) (\sqrt{a} \mp \sqrt{b})}$ $= \frac{\sqrt{a} \mp \sqrt{b}}{a - b}$ 　　

基本となる関数の積分より

$\int x^{α} d x = \frac{1}{α + 1} x^{α + 1} + C$ 　　（ $C$ は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

方針より， $\frac{3}{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}}$ の分母・分子に　 $\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}$ をかけ，有理化すると

$\frac{3}{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}}$ $= \frac{3 (\sqrt{x + 1} + \sqrt{x})}{(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}) (\sqrt{x + 1} + \sqrt{x})}$ 　　

$= \frac{3 (\sqrt{x + 1} + \sqrt{x})}{x + 1 - x}$ 　　

$= 3 (\sqrt{x + 1} + \sqrt{x})$ ･･････ $(α)$

となる．よって， $(α)$ を与式に代入して積分すると

与式 $= \int 3 (\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}) d x$ 　

$= 3 (\int \sqrt{x + 1} d x + \int \sqrt{x} d x)$ 　　

（ $3$ を積分記号 $\int$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

$= 3 (\int {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{1}{2}} d x)$ 　　

（指数に関する定義を参照）

$= 3 (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$ 　　　　　　

（ヒントの公式にあてはめる）

$= 2 \sqrt{{(x + 1)}^{3}} + 2 \sqrt{x^{3}} + C$ 　　

$= 2 (x + 1) \sqrt{x + 1} + 2 x \sqrt{x} + C$ 　　　

■確認問題

求まった答え　 $2 (x + 1) \sqrt{x + 1} + 2 x \sqrt{x} + C$ 　を微分し，積分前の式　 $\frac{3}{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日