問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int sinxcosxdx}$ 　

■ヒント

2倍角の公式

三角関数の積分より

${\displaystyle \int sinxdx=-cosx+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■答

2倍角の公式より

${\displaystyle sinxcosx=\frac{1}{2}sin2x}$　･･････(2)

となる．

与式${\displaystyle =\int \frac{1}{2}sin2xdx}$ 　

（与式に(2)を代入した）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\int sin2xdx}$ 　

（${\displaystyle \frac{1}{2}}$ を積分記号${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}cos2x+C\right)}$ 　

（ヒントの公式(1)を参照）

${\displaystyle =-\frac{1}{4}cos2x+C}$ 　

（${\displaystyle \frac{1}{2}C}$ を$C$ に書き換えている）

　

■確認問題

求まった答え　${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle sinxcosx}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日

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